Calculer la valeur de \(\frac{1+2ab}{c}\) dans les cas suivants :
\(\displaystyle a=\frac{1}{2},\quad b=\frac{2}{5},\quad c=\frac{1}{3}\).
\(\displaystyle a=\frac{2}{3},\quad b=\frac{6}{5},\quad c=\frac{1}{20}\).
\(\displaystyle a=\frac{3}{5},\quad b=\frac{3}{2},\quad c=\frac{7}{15}\).
\(\displaystyle a=\frac{1}{4},\quad b=\frac{1}{3},\quad c=\frac{1}{2}\).
Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
Réponses : 1. 21/5
2. 52
3. 6
4. 7/3
Nous souhaitons calculer l’expression suivante dans chacun des cas :
\[ \frac{1+2ab}{c} \]
Nous allons traiter chaque cas séparément.
Ici, on a :
\[ a=\frac{1}{2},\quad b=\frac{2}{5},\quad c=\frac{1}{3}. \]
Calcul du produit \(2ab\) :
\[ 2ab = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{5}. \]
Commencez par multiplier \(2 \times \frac{1}{2}\) :
\[ 2 \times \frac{1}{2} = 1. \]
Puis multipliez par \(\frac{2}{5}\) :
\[ 1 \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5}. \]
Addition à 1 :
La numération devient :
\[ 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}. \]
Division par \(c=\frac{1}{3}\) :
\[ \frac{\frac{7}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{1} = \frac{21}{5}. \]
La fraction obtenue \(\frac{21}{5}\) est entièrement simplifiée.
Ici, on a :
\[ a=\frac{2}{3},\quad b=\frac{6}{5},\quad c=\frac{1}{20}. \]
Calcul du produit \(2ab\) :
\[ 2ab = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}. \]
Multiplions d’abord \(2 \times \frac{2}{3}\) :
\[ 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \]
Puis multiplions par \(\frac{6}{5}\) :
\[ \frac{4}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{24}{15}. \]
Simplifions \(\frac{24}{15}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :
\[ \frac{24}{15} = \frac{8}{5}. \]
Addition à 1 :
\[ 1 + \frac{8}{5} = \frac{5}{5} + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}. \]
Division par \(c=\frac{1}{20}\) :
\[ \frac{\frac{13}{5}}{\frac{1}{20}} = \frac{13}{5} \times \frac{20}{1} = \frac{260}{5}. \]
Simplifions \(\frac{260}{5}\) en divisant 260 par 5 :
\[ \frac{260}{5} = 52. \]
On peut aussi écrire la réponse sous forme de fraction \(\frac{52}{1}\).
Ici, on a :
\[ a=\frac{3}{5},\quad b=\frac{3}{2},\quad c=\frac{7}{15}. \]
Calcul du produit \(2ab\) :
\[ 2ab = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{2}. \]
On remarque que 2 et \(\frac{1}{2}\) se simplifient :
\[ 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{5} \times 3 = \frac{9}{5}. \]
Addition à 1 :
\[ 1 + \frac{9}{5} = \frac{5}{5} + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}. \]
Division par \(c=\frac{7}{15}\) :
\[ \frac{\frac{14}{5}}{\frac{7}{15}} = \frac{14}{5} \times \frac{15}{7}. \]
Simplifions :
Donc :
\[ 2 \times 3 = 6. \]
La fraction peut s’écrire sous forme \(\frac{6}{1}\), ce qui est bien irréductible.
Ici, on a :
\[ a=\frac{1}{4},\quad b=\frac{1}{3},\quad c=\frac{1}{2}. \]
Calcul du produit \(2ab\) :
\[ 2ab = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}. \]
Multiplions d’abord \(2 \times \frac{1}{4}\) :
\[ 2 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]
Puis multiplions par \(\frac{1}{3}\) :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \]
Addition à 1 :
\[ 1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}. \]
Division par \(c=\frac{1}{2}\) :
\[ \frac{\frac{7}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{7}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{14}{6}. \]
Simplifions \(\frac{14}{6}\) en divisant numérateur et dénominateur par 2 :
\[ \frac{14}{6} = \frac{7}{3}. \]
Pour \(a=\frac{1}{2},\, b=\frac{2}{5},\, c=\frac{1}{3}\) :
\[ \frac{1+2ab}{c}=\frac{21}{5}. \]
Pour \(a=\frac{2}{3},\, b=\frac{6}{5},\, c=\frac{1}{20}\) :
\[ \frac{1+2ab}{c}=52 \quad \text{ou} \quad \frac{52}{1}. \]
Pour \(a=\frac{3}{5},\, b=\frac{3}{2},\, c=\frac{7}{15}\) :
\[ \frac{1+2ab}{c}=6 \quad \text{ou} \quad \frac{6}{1}. \]
Pour \(a=\frac{1}{4},\, b=\frac{1}{3},\, c=\frac{1}{2}\) :
\[ \frac{1+2ab}{c}=\frac{7}{3}. \]
Chaque résultat est donné sous forme d’une fraction irréductible.