Calculer et exprimer chacun des résultats sous forme de fraction irréductible :
\(\frac{3 \cdot \frac{2}{5} + \frac{8}{15}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}\)
\(\frac{\frac{2}{7} + \frac{4}{3}}{\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{7}}\)
\(\frac{4 \cdot \left(2 + \frac{1}{3}\right)}{\frac{4}{5} + 2}\)
\(\frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}{\frac{6}{7} - \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14}}\)
Réponses finales : 1) 52/5
2) 34/5
3) 10/3
4) 3/20
Nous allons corriger chacune des expressions de manière détaillée.
\[ \frac{3 \cdot \frac{2}{5} + \frac{8}{15}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \]
Étape 1 : Calcul du numérateur
On commence par évaluer
\[
3 \cdot \frac{2}{5} + \frac{8}{15}.
\]
Calcul de \(3 \cdot
\frac{2}{5}\) :
\[
3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}.
\]
On souhaite maintenant additionner \(\frac{6}{5}\) et \(\frac{8}{15}\). Pour cela, il faut écrire
les fractions avec un dénominateur commun. Le dénominateur commun de 5
et 15 est 15. On a :
\[
\frac{6}{5} = \frac{6 \times 3}{5 \times 3} = \frac{18}{15}.
\]
Ainsi, le numérateur s’obtient :
\[
\frac{18}{15} + \frac{8}{15} = \frac{26}{15}.
\]
Étape 2 : Calcul du dénominateur
On évalue
\[
\frac{1}{2} - \frac{1}{3}.
\]
Trouvons un dénominateur commun (le plus petit commun multiple de 2
et 3 est 6) :
- \(\frac{1}{2}=\frac{3}{6}\) et \(\frac{1}{3}=\frac{2}{6}\).
- Donc,
\[
\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.
\]
Étape 3 : Division des deux résultats
La fraction initiale devient alors :
\[
\frac{\frac{26}{15}}{\frac{1}{6}}.
\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[
\frac{26}{15} \times \frac{6}{1} = \frac{26 \times 6}{15} =
\frac{156}{15}.
\]
On simplifie cette fraction en remarquant que 156 et 15 sont tous
deux divisibles par 3 :
- \(156 \div 3 = 52\)
- \(15 \div 3 = 5\).
On obtient donc :
\[
\frac{156}{15} = \frac{52}{5}.
\]
Réponse (1) :
\[
\boxed{\frac{52}{5}}
\]
\[ \frac{\frac{2}{7} + \frac{4}{3}}{\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{7}} \]
Étape 1 : Calcul du numérateur
On somme :
\[
\frac{2}{7} + \frac{4}{3}.
\]
Pour additionner ces fractions, on cherche un dénominateur commun. Le
plus petit commun multiple de 7 et 3 est 21 :
- \(\frac{2}{7}=\frac{2 \times 3}{7 \times
3}=\frac{6}{21}\).
- \(\frac{4}{3}=\frac{4 \times 7}{3 \times
7}=\frac{28}{21}\).
La somme est donc :
\[
\frac{6}{21} + \frac{28}{21} = \frac{34}{21}.
\]
Étape 2 : Calcul du dénominateur
On calcule le produit :
\[
\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 7} =
\frac{10}{42}.
\]
Cette fraction peut être simplifiée en divisant le numérateur et le
dénominateur par 2 :
\[
\frac{10}{42} = \frac{5}{21}.
\]
Étape 3 : Division des deux résultats
On a donc :
\[
\frac{\frac{34}{21}}{\frac{5}{21}}.
\]
En multipliant par l’inverse du dénominateur :
\[
\frac{34}{21} \times \frac{21}{5} = \frac{34}{5}.
\]
Réponse (2) :
\[
\boxed{\frac{34}{5}}
\]
\[ \frac{4 \cdot \left(2 + \frac{1}{3}\right)}{\frac{4}{5} + 2} \]
Étape 1 : Réaliser l’opération dans la parenthèse du
numérateur
On calcule \(2 + \frac{1}{3}\). Pour
additionner, on écrit 2 sous forme de fraction avec dénominateur 3
:
\[
2 = \frac{6}{3}.
\] D’où :
\[
2+\frac{1}{3}=\frac{6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
\]
Multiplions ensuite par 4 :
\[
4 \cdot \frac{7}{3}=\frac{28}{3}.
\]
Étape 2 : Calcul du dénominateur
On additionne \(\frac{4}{5}+2\). On
écrit 2 sous forme de fraction avec dénominateur 5 :
\[
2=\frac{10}{5}.
\] Donc,
\[
\frac{4}{5}+2=\frac{4}{5}+\frac{10}{5}=\frac{14}{5}.
\]
Étape 3 : Division des deux résultats
La fraction devient :
\[
\frac{\frac{28}{3}}{\frac{14}{5}}=\frac{28}{3}\times\frac{5}{14}.
\]
Simplifions :
- \(28\) et \(14\) : \(28 \div
14 = 2\).
Ainsi :
\[
\frac{28}{3}\times\frac{5}{14} = \frac{2}{3}\times 5 = \frac{10}{3}.
\]
Réponse (3) :
\[
\boxed{\frac{10}{3}}
\]
\[ \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}{\frac{6}{7} - \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14}} \]
Étape 1 : Calcul du numérateur
On calcule le produit :
\[
\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}=\frac{3}{28}.
\]
Étape 2 : Calcul du dénominateur
On évalue d’abord la multiplication :
\[
\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 14}.
\] Les 5 se simplifient :
\[
\frac{2 \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}.
\]
Ensuite, nous soustrayons dans le dénominateur :
\[
\frac{6}{7}-\frac{1}{7}=\frac{5}{7}.
\]
Étape 3 : Division des deux résultats
La fraction s’écrit alors :
\[
\frac{\frac{3}{28}}{\frac{5}{7}}=\frac{3}{28}\times\frac{7}{5}.
\]
Simplifions en annulant 7 et 28 :
\(28 \div 7 = 4\) donc :
\[
\frac{3}{28}\times\frac{7}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{3}{20}.
\]
Réponse (4) :
\[
\boxed{\frac{3}{20}}
\]
Chaque résultat est exprimé sous forme de fraction irréductible.