Calculer et exprimer le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
\(\displaystyle \frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle \frac{\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}+\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle \frac{\frac{4}{7}+\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}+\frac{2}{7}}\)
\(\displaystyle \frac{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{3}{4}}{1-\frac{2}{5}}\)
Réponses : 1) 11/2
2) 2/3
3) 9/8
4) 2/3
Voici la correction détaillée pour chacune des expressions proposées :
Étape 1 : Calcul du numérateur
Nous devons additionner les fractions \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{1}{4}\). Pour cela, nous cherchons un dénominateur commun :
Étape 2 : Calcul du dénominateur
Le dénominateur est le produit de \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{1}{4}\) : \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}. \]
Étape 3 : Calcul de l’expression complète
Nous avons donc : \[ \frac{\frac{11}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{11}{12} \times \frac{6}{1}. \] On multiplie ensuite : \[ \frac{11 \times 6}{12} = \frac{66}{12}. \] Simplifions cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 6 : \[ \frac{66 \div 6}{12 \div 6} = \frac{11}{2}. \]
Réponse du 1) : \(\displaystyle \frac{11}{2}\).
Étape 1 : Calcul du numérateur
D’abord, calculons le produit : \[ \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 \times 1}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. \] Ajoutons ensuite \(\frac{3}{10}\) : \[ \frac{3}{5} + \frac{3}{10}. \] Pour additionner ces fractions, il faut un dénominateur commun. Le dénominateur commun de 5 et 10 est 10 : \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}. \] Ainsi, \[ \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{9}{10}. \]
Étape 2 : Calcul du dénominateur
Additionnons \(\frac{3}{5} + \frac{3}{4}\) en recherchant le dénominateur commun. Le dénominateur commun de 5 et 4 est 20 : \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20}, \quad \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}. \] Donc, \[ \frac{12}{20} + \frac{15}{20} = \frac{27}{20}. \]
Étape 3 : Calcul de l’expression complète
Nous avons ainsi : \[ \frac{\frac{9}{10}}{\frac{27}{20}} = \frac{9}{10} \times \frac{20}{27}. \] Multiplication des numéros et simplifications : \[ \frac{9 \times 20}{10 \times 27} = \frac{180}{270}. \] En simplifiant, divisons le numérateur et le dénominateur par 10 : \[ \frac{18}{27}. \] Ensuite, divisons par 9 : \[ \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3}. \]
Réponse du 2) : \(\displaystyle \frac{2}{3}\).
Étape 1 : Calcul du numérateur
Additionnons \(\frac{4}{7} + \frac{1}{2}\). Le dénominateur commun de 7 et 2 est 14 : \[ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 2}{7 \times 2} = \frac{8}{14}, \quad \frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}. \] Ainsi, \[ \frac{8}{14} + \frac{7}{14} = \frac{15}{14}. \]
Étape 2 : Calcul du dénominateur
Additionnons \(\frac{2}{3} + \frac{2}{7}\). Le dénominateur commun de 3 et 7 est 21 : \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}, \quad \frac{2}{7} = \frac{2 \times 3}{7 \times 3} = \frac{6}{21}. \] Donc, \[ \frac{14}{21} + \frac{6}{21} = \frac{20}{21}. \]
Étape 3 : Calcul de l’expression complète
On a alors : \[ \frac{\frac{15}{14}}{\frac{20}{21}} = \frac{15}{14} \times \frac{21}{20}. \] Calculons le produit : \[ \frac{15 \times 21}{14 \times 20} = \frac{315}{280}. \] Pour simplifier, divisons par 5 : \[ \frac{315 \div 5}{280 \div 5} = \frac{63}{56}. \] Enfin, divisons par 7 : \[ \frac{63 \div 7}{56 \div 7} = \frac{9}{8}. \]
Réponse du 3) : \(\displaystyle \frac{9}{8}\).
Étape 1 : Calcul de la parenthèse dans le numérateur
Additionnons \(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\). Le dénominateur commun de 5 et 3 est 15 : \[ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}, \quad \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}. \] Ainsi, \[ \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}. \]
Étape 2 : Multiplication par \(\frac{3}{4}\)
On multiplie : \[ \frac{8}{15} \times \frac{3}{4} = \frac{8 \times 3}{15 \times 4} = \frac{24}{60}. \] Simplifions la fraction par division par 12 : \[ \frac{24 \div 12}{60 \div 12} = \frac{2}{5}. \]
Étape 3 : Calcul du dénominateur
Calculons \(1 - \frac{2}{5}\). Écrivons 1 sous forme de fraction : \[ 1 = \frac{5}{5}. \] Alors, \[ 1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}. \]
Étape 4 : Calcul de l’expression complète
On a : \[ \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{5} \times \frac{5}{3}. \] Les 5 se simplifient : \[ \frac{2}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{5}}{3} = \frac{2}{3}. \]
Réponse du 4) : \(\displaystyle \frac{2}{3}\).
Chaque étape a été détaillée pour faciliter la compréhension et permettre de suivre la logique de la résolution.