Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\(\frac{4+\frac{1}{3}}{4-\frac{1}{3}}\)
\(\frac{\frac{1}{6}\left(4+\frac{2}{3}\right)}{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}\)
\(\frac{\frac{4}{7}+\frac{2}{5}}{\frac{3}{7}+\frac{1}{5}}\)
\(\frac{\frac{1}{3}\left(4+\frac{3}{8}\right)}{\frac{5}{2}-\frac{1}{10}}\)
Nous allons résoudre chacune des expressions pas à pas en détaillant toutes les opérations.
Étape 1 : Simplifier le numérateur
Nous écrivons \(4\) sous forme de fraction ayant le dénominateur \(3\) :
\[ 4 = \frac{12}{3} \]
Ainsi,
\[ 4+\frac{1}{3} = \frac{12}{3}+\frac{1}{3} = \frac{12+1}{3} = \frac{13}{3}. \]
Étape 2 : Simplifier le dénominateur
De même,
\[ 4-\frac{1}{3} = \frac{12}{3}-\frac{1}{3} = \frac{12-1}{3} = \frac{11}{3}. \]
Étape 3 : Effectuer la division des fractions
On a alors :
\[ \frac{4+\frac{1}{3}}{4-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{13}{3}}{\frac{11}{3}}. \]
Pour diviser deux fractions, on multiplie par l’inverse de la seconde :
\[ \frac{\frac{13}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{13}{3} \times \frac{3}{11} = \frac{13 \times 3}{3 \times 11}. \]
Les \(3\) se simplifient :
\[ \frac{13}{11}. \]
Résultat 1 : \(\boxed{\frac{13}{11}}\)
Étape 1 : Simplifier le numérateur
On commence par simplifier l’expression \(4+\frac{2}{3}\). Écrivons \(4\) en fraction :
\[ 4 = \frac{12}{3}. \]
Donc,
\[ 4+\frac{2}{3} = \frac{12}{3}+\frac{2}{3} = \frac{12+2}{3} = \frac{14}{3}. \]
Ensuite, on multiplie par \(\frac{1}{6}\) :
\[ \frac{1}{6}\left(4+\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} \times \frac{14}{3} = \frac{14}{18}. \]
On peut simplifier \(\frac{14}{18}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par \(2\) :
\[ \frac{14 \div 2}{18 \div 2} = \frac{7}{9}. \]
Étape 2 : Simplifier le dénominateur
On considère
\[ \frac{3}{4}-\frac{1}{3}. \]
Trouvons le dénominateur commun, qui est \(12\) :
\[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}, \quad \frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}. \]
Donc,
\[ \frac{3}{4}-\frac{1}{3} = \frac{9}{12}-\frac{4}{12} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12}. \]
Étape 3 : Effectuer la division
La fraction devient :
\[ \frac{\frac{7}{9}}{\frac{5}{12}} = \frac{7}{9} \times \frac{12}{5}= \frac{7 \times 12}{9 \times 5}. \]
On peut simplifier \(12\) et \(9\) (diviser par \(3\)) :
\[ 12 \div 3 = 4,\quad 9 \div 3 = 3. \]
Ainsi,
\[ \frac{7 \times 4}{3 \times 5} = \frac{28}{15}. \]
Résultat 2 : \(\boxed{\frac{28}{15}}\)
Étape 1 : Simplifier le numérateur
Pour additionner \(\frac{4}{7}\) et \(\frac{2}{5}\), nous cherchons le dénominateur commun qui est \(35\) :
\[ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35}, \quad \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35}. \]
La somme est :
\[ \frac{20}{35}+\frac{14}{35} = \frac{20+14}{35} = \frac{34}{35}. \]
Étape 2 : Simplifier le dénominateur
Pour \(\frac{3}{7}+\frac{1}{5}\), avec même dénominateur \(35\) :
\[ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35}, \quad \frac{1}{5} = \frac{1 \times 7}{5 \times 7} = \frac{7}{35}. \]
La somme est :
\[ \frac{15}{35}+\frac{7}{35} = \frac{15+7}{35} = \frac{22}{35}. \]
Étape 3 : Effectuer la division
On a :
\[ \frac{\frac{34}{35}}{\frac{22}{35}} = \frac{34}{35} \times \frac{35}{22}. \]
Les \(35\) se simplifient :
\[ \frac{34}{22} = \frac{34 \div 2}{22 \div 2} = \frac{17}{11}. \]
Résultat 3 : \(\boxed{\frac{17}{11}}\)
Étape 1 : Simplifier le numérateur
Calculons d’abord \(4+\frac{3}{8}\). Exprimons \(4\) sous forme de fraction avec dénominateur \(8\) :
\[ 4 = \frac{32}{8}. \]
Alors,
\[ 4+\frac{3}{8} = \frac{32}{8}+\frac{3}{8} = \frac{32+3}{8} = \frac{35}{8}. \]
Ensuite, multiplions par \(\frac{1}{3}\) :
\[ \frac{1}{3}\left(4+\frac{3}{8}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{35}{8} = \frac{35}{24}. \]
Étape 2 : Simplifier le dénominateur
Calculons :
\[ \frac{5}{2}-\frac{1}{10}. \]
Écrivons \(\frac{5}{2}\) avec le dénominateur \(10\) :
\[ \frac{5}{2} = \frac{5 \times 5}{2 \times 5} = \frac{25}{10}. \]
Donc,
\[ \frac{25}{10}-\frac{1}{10} = \frac{25-1}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \quad (\text{en simplifiant par }2). \]
Étape 3 : Effectuer la division
La fraction devient :
\[ \frac{\frac{35}{24}}{\frac{12}{5}} = \frac{35}{24} \times \frac{5}{12} = \frac{35 \times 5}{24 \times 12}. \]
Calculons les produits :
\[ 35 \times 5 = 175 \quad \text{et} \quad 24 \times 12 = 288. \]
Ainsi,
\[ \frac{175}{288}. \]
Il n’y a pas de diviseur commun autre que \(1\), donc la fraction est irréductible.
Résultat 4 : \(\boxed{\frac{175}{288}}\)
\(\displaystyle \frac{13}{11}\)
\(\displaystyle \frac{28}{15}\)
\(\displaystyle \frac{17}{11}\)
\(\displaystyle \frac{175}{288}\)