Exercice 163

Calculer la valeur des expressions suivantes pour \(x = \frac{5}{6}\) et \(y = \frac{3}{10}\). Exprimer chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible.

1. \(8xy\)
2. \(2xy + 2\)
3. \(3x + 15y\)
4. \(25y^2 - 3x\)

Réponse

1. 8xy = 2
   
2. 2xy + 2 = 5/2
   
3. 3x + 15y = 7
   
4. 25y² – 3x = –1/4

Corrigé détaillé

Nous souhaitons calculer quatre expressions en remplaçant
\[ x = \frac{5}{6} \quad \text{et} \quad y = \frac{3}{10} \] et exprimer chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible.

---

1. Calcul de \(8xy\)

Étape 1 : Remplacer \(x\) et \(y\) dans l’expression
\[ 8xy = 8 \times \frac{5}{6} \times \frac{3}{10}. \]

Étape 2 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs
\[ 8xy = \frac{8 \times 5 \times 3}{6 \times 10} = \frac{120}{60}. \]

Étape 3 : Simplifier la fraction
\[ \frac{120}{60} = 2. \]

Résultat :
\[ 8xy = 2 \quad \text{(ou } \frac{2}{1} \text{)}. \]

---

2. Calcul de \(2xy + 2\)

Étape 1 : Calculer \(2xy\).
On a déjà vu que
\[ xy = \frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}, \] mais recalculons directement \(2xy\) :

\[ 2xy = 2 \times \frac{5}{6} \times \frac{3}{10} = \frac{2 \times 5 \times 3}{6 \times 10} = \frac{30}{60}. \]

Étape 2 : Simplifier la fraction
\[ \frac{30}{60} = \frac{1}{2}. \]

Étape 3 : Ajouter 2
On écrit 2 sous forme de fraction avec dénominateur 2 : \(2 = \frac{4}{2}\).
Ainsi : \[ 2xy + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2}. \]

Résultat :
\[ 2xy + 2 = \frac{5}{2}. \]

---

3. Calcul de \(3x + 15y\)

Étape 1 : Calculer \(3x\)
\[ 3x = 3 \times \frac{5}{6} = \frac{15}{6}. \] Simplifions : \[ \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \quad \text{(en divisant par 3 le numérateur et le dénominateur)}. \]

Étape 2 : Calculer \(15y\)
\[ 15y = 15 \times \frac{3}{10} = \frac{45}{10}. \] Simplifions : \[ \frac{45}{10} = \frac{9}{2} \quad \text{(en divisant par 5)}. \]

Étape 3 : Additionner
\[ 3x + 15y = \frac{5}{2} + \frac{9}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7. \]

Résultat :
\[ 3x + 15y = 7. \]

---

4. Calcul de \(25y^2 - 3x\)

Étape 1 : Calculer \(y^2\)
\[ y^2 = \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{9}{100}. \]

Étape 2 : Calculer \(25y^2\)
\[ 25y^2 = 25 \times \frac{9}{100} = \frac{225}{100}. \] Simplifions : \[ \frac{225}{100} = \frac{9}{4} \quad \text{(diviser numérateur et dénominateur par 25)}. \]

Étape 3 : Calculer \(3x\)
\[ 3x = 3 \times \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \quad \text{(comme précédemment)}. \]

Étape 4 : Soustraire
Pour soustraire les fractions, nous mettons au même dénominateur. Ici, le dénominateur commun est 4.
\[ \frac{5}{2} = \frac{10}{4}. \] Donc : \[ 25y^2 - 3x = \frac{9}{4} - \frac{10}{4} = \frac{9-10}{4} = \frac{-1}{4}. \]

Résultat :
\[ 25y^2 - 3x = \frac{-1}{4} \quad \text{ou simplement } -\frac{1}{4}. \]

---

Résumé des réponses :

1. \(8xy = 2\)
   
2. \(2xy + 2 = \frac{5}{2}\)
   
3. \(3x + 15y = 7\)
   
4. \(25y^2 - 3x = -\frac{1}{4}\)

Cette correction détaillée vous aide à comprendre chaque étape de calcul.