Calculer la valeur de chacune des expressions suivantes pour \[x = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad y = \frac{2}{3}:\]
\[3xy\]
\[4x + 3y\]
\[5x^2 - y\]
\[9y^3 + 1\]
Donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
Réponses : 3xy = 1, 4x+3y = 4, 5x²–y = 7/12, 9y³+1 = 11/3.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Données du problème :
On vous donne
\[
x = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad y = \frac{2}{3}.
\]
Nous devons calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
Remplacer \(x\) et \(y\) par leurs valeurs : \[ 3xy = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}. \]
Effectuer d’abord la multiplication \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\) : \[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} = \frac{2}{6}. \]
Simplifier \(\frac{2}{6}\) en divisant numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
Multiplier par 3 : \[ 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1. \]
Réponse 1 : \(1\) (ou sous forme de fraction irréductible, \(\frac{1}{1}\)).
Remplacer \(x\) et \(y\) par leurs valeurs : \[ 4x + 3y = 4 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{2}{3}. \]
Calculer chaque terme :
Additionner les deux résultats : \[ 2 + 2 = 4. \]
Réponse 2 : \(4\) (ou \(\frac{4}{1}\)).
Remplacer \(x\) par \(\frac{1}{2}\) pour calculer \(x^2\) : \[ x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}. \]
Multiplier par 5 : \[ 5x^2 = 5 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4}. \]
Soustraire \(y\, (y = \frac{2}{3})\) : \[ 5x^2 - y = \frac{5}{4} - \frac{2}{3}. \]
Pour soustraire ces fractions, on doit trouver un dénominateur commun. Le dénominateur commun de 4 et 3 est 12. Transformer chaque fraction : \[ \frac{5}{4} = \frac{5 \times 3}{4 \times 3} = \frac{15}{12}, \quad \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}. \]
Effectuer la soustraction : \[ \frac{15}{12} - \frac{8}{12} = \frac{15 - 8}{12} = \frac{7}{12}. \]
Réponse 3 : \(\frac{7}{12}\).
Remplacer \(y\) par \(\frac{2}{3}\) et calculer \(y^3\) : \[ y^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}. \]
Multiplier par 9 : \[ 9y^3 = 9 \times \frac{8}{27} = \frac{72}{27}. \]
Simplifier la fraction \(\frac{72}{27}\). On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 9 : \[ \frac{72}{27} = \frac{72 \div 9}{27 \div 9} = \frac{8}{3}. \]
Ajouter 1. Pour additionner, on exprime 1 sous forme de fraction ayant le même dénominateur : \[ 1 = \frac{3}{3}. \]
Effectuer l’addition : \[ 9y^3 + 1 = \frac{8}{3} + \frac{3}{3} = \frac{8 + 3}{3} = \frac{11}{3}. \]
Réponse 4 : \(\frac{11}{3}\).
Synthèse des réponses :
Chaque résultat est présenté sous forme de fraction irréductible, lorsque c’est nécessaire.
Voilà la correction complète et détaillée.