Exercice 161
Calculez la valeur de chacune des expressions suivantes pour \[
x=\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad y=\frac{3}{5}:
\]
- \(2xy\)
- \(x-2y\)
- \(6x^2-2x+4\)
- \(x^2y+xy^2\)
Exprimez chaque résultat sous la forme d’une fraction
irréductible.
Réponse
Réponses :
1. 2xy = 2/5
2. x – 2y = –13/15
3. 6x² – 2x + 4 = 4
4. x²y + xy² = 14/75
Corrigé détaillé
Nous avons les valeurs
\[
x=\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad y=\frac{3}{5}.
\]
Nous allons calculer chaque expression une par une et simplifier pour
obtenir des fractions irréductibles.
1. Calcul de \(2xy\)
Nous avons
\[
2xy = 2 \times x \times y = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{5}.
\]
Étapes du calcul :
- Multiplions \(\frac{1}{3}\) par
\(\frac{3}{5}\) : \[
\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1 \times 3}{3 \times 5} =
\frac{3}{15}.
\]
- Alors, \[
2xy = 2 \times \frac{3}{15}.
\]
- On peut simplifier \(\frac{3}{15}\)
en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 : \[
\frac{3}{15} = \frac{1}{5}.
\]
- Enfin, \[
2xy = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}.
\]
Résultat :
\[
\boxed{\frac{2}{5}}
\]
2. Calcul de \(x -
2y\)
Nous avons
\[
x - 2y = \frac{1}{3} - 2 \times \frac{3}{5}.
\]
Étapes du calcul :
- Calcul de \(2y\) : \[
2 \times \frac{3}{5} = \frac{6}{5}.
\]
- Ainsi, \[
x - 2y = \frac{1}{3} - \frac{6}{5}.
\]
- Pour soustraire ces fractions, nous cherchons un dénominateur
commun. Ici, le dénominateur commun est \(15\) : \[
\frac{1}{3} = \frac{5}{15} \quad \text{et} \quad \frac{6}{5} =
\frac{18}{15}.
\]
- La soustraction devient : \[
\frac{5}{15} - \frac{18}{15} = \frac{5 - 18}{15} = \frac{-13}{15}.
\]
Résultat :
\[
\boxed{-\frac{13}{15}}
\]
3. Calcul de \(6x^2 - 2x + 4\)
Nous remplaçons \(x\) par \(\frac{1}{3}\) dans l’expression : \[
6x^2 - 2x + 4 = 6\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right)
+ 4.
\]
Étapes du calcul :
- Calcul de \(x^2\) : \[
\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}.
\]
- Ainsi, \[
6x^2 = 6 \times \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \quad
\text{(après simplification)}.
\]
- Calcul de \(2x\) : \[
2x = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
\]
- L’expression devient alors : \[
\frac{2}{3} - \frac{2}{3} + 4.
\]
- Comme \(\frac{2}{3} - \frac{2}{3} =
0\), il reste : \[
0 + 4 = 4.
\]
Résultat :
\[
\boxed{4} \quad \text{(ou sous forme de fraction irréductible, }
\frac{4}{1}\text{)}
\]
4. Calcul de \(x^2y
+ xy^2\)
Nous avons l’expression : \[
x^2y + xy^2.
\]
Étapes du calcul :
- On peut factoriser \(xy\) : \[
x^2y + xy^2 = xy(x + y).
\]
- Calculons \(xy\) : \[
xy = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}.
\]
- Calculons \(x + y\) : \[
x + y = \frac{1}{3} + \frac{3}{5}.
\] Pour additionner ces fractions, nous trouvons un dénominateur
commun, ici \(15\) : \[
\frac{1}{3} = \frac{5}{15} \quad \text{et} \quad \frac{3}{5} =
\frac{9}{15}.
\] Donc, \[
x + y = \frac{5}{15} + \frac{9}{15} = \frac{14}{15}.
\]
- Finalement, \[
x^2y + xy^2 = xy(x+y) = \frac{1}{5} \times \frac{14}{15} =
\frac{14}{75}.
\]
Résultat :
\[
\boxed{\frac{14}{75}}
\]
Résumé des résultats
- \(2xy = \dfrac{2}{5}\)
- \(x - 2y = -\dfrac{13}{15}\)
- \(6x^2 - 2x + 4 = 4\) (ou \(\dfrac{4}{1}\))
- \(x^2y + xy^2 =
\dfrac{14}{75}\)
Chaque résultat est exprimé sous forme de fraction irréductible,
conformément aux consignes.