Exercice 160
Calculer et exprimer le résultat sous forme d’une fraction
irréductible :
\(2 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} +
\frac{4}{3}\)
\(\frac{5}{6} + \frac{1}{2} \div
3\)
\(1 - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} +
\frac{2}{7}\right)\)
\(\frac{2}{5} \cdot \left(2 +
\frac{3}{4}\right)\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot
\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\right)\)
\(\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{9} +
\frac{7}{10}\)
Réponse
Voici les réponses finales :
- 7/3
- 1
- 19/105
- 11/10
- 19/96
- 7/6
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée pour chacune des expressions :
1) Calculer \(2 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} +
\frac{4}{3}\)
- Calcul de la racine carrée :
\[
\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
\]
- Multiplication par 2 :
\[
2 \cdot \frac{1}{2} = 1
\]
- Addition avec \(\frac{4}{3}\) :
\[
1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}
\]
Réponse finale : \(\displaystyle \frac{7}{3}\)
2) Calculer \(\frac{5}{6} + \frac{1}{2} \div 3\)
- Division prioritaire :
\[
\frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
\]
- Addition avec \(\frac{5}{6}\) :
\[
\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1
\]
Réponse finale : \(1\)
3) Calculer \(1 - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} +
\frac{2}{7}\right)\)
- Calcul de la somme dans la parenthèse :
Pour additionner \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{2}{7}\), on cherche un dénominateur
commun.
Le dénominateur commun est \(105\) (car
\(3 \times 5 \times 7 = 105\)).
On exprime chaque fraction avec 105 au dénominateur : \[
\frac{1}{3} = \frac{35}{105}, \quad \frac{1}{5} = \frac{21}{105}, \quad
\frac{2}{7} = \frac{30}{105}
\] Ainsi, \[
\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{2}{7} = \frac{35 + 21 + 30}{105} =
\frac{86}{105}
\]
- Soustraction de 1 :
On écrit \(1\) sous forme de fraction
avec 105 au dénominateur : \[
1 = \frac{105}{105}
\] Puis, \[
1 - \frac{86}{105} = \frac{105 - 86}{105} = \frac{19}{105}
\]
Réponse finale : \(\displaystyle \frac{19}{105}\)
4) Calculer \(\frac{2}{5} \cdot \left(2 +
\frac{3}{4}\right)\)
- Calcul de l’expression dans la parenthèse :
Pour additionner \(2\) et \(\frac{3}{4}\), on écrit \(2\) sous forme de fraction : \[
2 = \frac{8}{4} \quad \text{donc} \quad 2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} +
\frac{3}{4} = \frac{11}{4}
\]
- Multiplication avec \(\frac{2}{5}\) :
\[
\frac{2}{5} \times \frac{11}{4} = \frac{22}{20}
\]
- Simplification de la fraction :
Divisons le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun \(2\) : \[
\frac{22}{20} = \frac{11}{10}
\]
Réponse finale : \(\displaystyle \frac{11}{10}\)
5)
Calculer \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot
\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\right)\)
- Calcul de la puissance :
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
\]
- Calcul de la somme dans la parenthèse :
Pour additionner \(\frac{3}{4}\) et
\(\frac{5}{6}\), on cherche un
dénominateur commun.
Le plus petit commun dénominateur de 4 et 6 est 12. \[
\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}
\] Ainsi, \[
\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}
\]
- Multiplication des deux résultats :
\[
\frac{1}{8} \times \frac{19}{12} = \frac{19}{96}
\]
Réponse finale : \(\displaystyle \frac{19}{96}\)
6) Calculer \(\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{9} +
\frac{7}{10}\)
- Multiplication des deux premières fractions :
\[
\frac{3}{5} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{45}
\] Simplifions en divisant par 3 : \[
\frac{21}{45} = \frac{7}{15}
\]
- Addition avec \(\frac{7}{10}\) :
Pour additionner \(\frac{7}{15}\) et
\(\frac{7}{10}\), on trouve un
dénominateur commun.
Le plus petit commun dénominateur de 15 et 10 est 30. \[
\frac{7}{15} = \frac{14}{30}, \quad \frac{7}{10} = \frac{21}{30}
\] Ainsi, \[
\frac{7}{15} + \frac{7}{10} = \frac{14 + 21}{30} = \frac{35}{30}
\]
- Simplification de la fraction :
Divisons par 5 : \[
\frac{35}{30} = \frac{7}{6}
\]
Réponse finale : \(\displaystyle \frac{7}{6}\)
Ces étapes détaillées permettent de comprendre le déroulement de
chaque calcul de manière claire et structurée.