Exercice 159

Calculer et exprimer les résultats sous forme de fractions irréductibles :

\(\frac{4}{7} \times \frac{8}{7}\)
\(3 \div \frac{4}{5}\)
\(\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + \frac{5}{6}\)
\(\sqrt{\frac{64}{25}}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{27}{25}\)
\(\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \frac{3}{7}\)

Réponse

32/49
15/4
0
8/5
12/25
30/49

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en français :

1) Calcul de \(\frac{4}{7} \times \frac{8}{7}\)

Étape 1 : Multiplier les numérateurs et les dénominateurs

\[ \frac{4}{7} \times \frac{8}{7} = \frac{4 \times 8}{7 \times 7} = \frac{32}{49} \]

Étape 2 : Vérifier que la fraction est irréductible

Le numérateur \(32\) et le dénominateur \(49\) n’ont aucun diviseur commun autre que 1, donc la fraction est déjà irréductible.

\[ \boxed{\frac{32}{49}} \]

2) Calcul de \(3 \div \frac{4}{5}\)

Étape 1 : Remplacer la division par la multiplication par l’inverse

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :

\[ 3 \div \frac{4}{5} = 3 \times \frac{5}{4} \]

Étape 2 : Effectuer la multiplication

\[ 3 \times \frac{5}{4} = \frac{3 \times 5}{4} = \frac{15}{4} \]

La fraction \(\frac{15}{4}\) est déjà irréductible (les facteurs de 15 sont \(3\) et \(5\), et 4 est \(2 \times 2\)).

\[ \boxed{\frac{15}{4}} \]

3) Calcul de \(\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + \frac{5}{6}\)

Étape 1 : Mettre toutes les fractions sur le même dénominateur

Le dénominateur commun aux fractions \(3\), \(2\) et \(6\) est \(6\).

Pour \(\frac{2}{3}\), multiplier numérateur et dénominateur par \(2\) :

\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \]

Pour \(\frac{3}{2}\), multiplier numérateur et dénominateur par \(3\) :

\[ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6} \]

\(\frac{5}{6}\) est déjà sur le dénominateur \(6\).

Étape 2 : Effectuer l’opération

\[ \frac{4}{6} - \frac{9}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4 - 9 + 5}{6} = \frac{0}{6} \]

Conclusion :

\[ \boxed{0} \]

4) Calcul de \(\sqrt{\frac{64}{25}}\)

Étape 1 : Utiliser la propriété de la racine sur une fraction

\[ \sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}} \]

Étape 2 : Calculer les racines carrées

\[ \sqrt{64} = 8 \quad \text{et} \quad \sqrt{25} = 5 \]

Donc,

\[ \frac{8}{5} \]

\[ \boxed{\frac{8}{5}} \]

5) Calcul de \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{27}{25}\)

Étape 1 : Calculer \(\left(\frac{2}{3}\right)^2\)

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \]

Étape 2 : Multiplier par \(\frac{27}{25}\)

\[ \frac{4}{9} \times \frac{27}{25} = \frac{4 \times 27}{9 \times 25} = \frac{108}{225} \]

Étape 3 : Simplifier la fraction

Trouvons un diviseur commun pour \(108\) et \(225\) :

Divisons le numérateur et le dénominateur par \(9\) :

\[ 108 \div 9 = 12, \quad 225 \div 9 = 25 \]

Ainsi, la fraction se simplifie en :

\[ \frac{12}{25} \]

\[ \boxed{\frac{12}{25}} \]

6) Calcul de \(\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \frac{3}{7}\)

Étape 1 : Calculer \(\left(\frac{3}{7}\right)^2\)

\[ \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49} \]

Étape 2 : Réécrire \(\frac{3}{7}\) avec le dénominateur 49

Pour mettre sur un même dénominateur :

\[ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 7}{7 \times 7} = \frac{21}{49} \]

Étape 3 : Effectuer l’addition

\[ \frac{9}{49} + \frac{21}{49} = \frac{9 + 21}{49} = \frac{30}{49} \]

La fraction \(\frac{30}{49}\) est irréductible car \(30\) et \(49\) n’ont pas de diviseurs communs (les facteurs de \(30\) sont \(2\), \(3\) et \(5\); ceux de \(49\) sont \(7\) et \(7\)).

\[ \boxed{\frac{30}{49}} \]

Récapitulatif des réponses :

\(\frac{4}{7} \times \frac{8}{7} = \frac{32}{49}\)
\(3 \div \frac{4}{5} = \frac{15}{4}\)
\(\frac{2}{3} - \frac{3}{2} + \frac{5}{6} = 0\)
\(\sqrt{\frac{64}{25}} = \frac{8}{5}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{27}{25} = \frac{12}{25}\)
\(\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \frac{3}{7} = \frac{30}{49}\)

Chaque réponse est exprimée sous forme de fraction irréductible (ou en valeur 0 dans le cas de la troisième question).