Exercice 157

Exercice :

Calculer les expressions suivantes et exprimer le résultat sous forme d’une fraction irréductible.

\(\frac{2}{3} \div \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)\)
\(\left[\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}\right] \div \left[\frac{3}{4}+\frac{1}{3}\right]\)
\(\left[\frac{2}{5} \div 3\right] \div \left[\frac{2}{5}+3\right]\)
\(\frac{5}{7}+\frac{2}{3} \times \frac{3}{7}\)
\(\left(\frac{5}{7}+\frac{2}{3}\right) \div \frac{3}{7}\)
\(\frac{90}{49} \div \frac{50}{231}\)

Réponse

Réponses : 1) 5/4
2) 3/13
3) 2/51
4) 1
5) 29/9
6) 297/35

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des expressions données.

1) Calcul de \(\frac{2}{3} \div \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)\)

Étape 1 : Calculer la somme dans le dénominateur

On a : \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \] Pour additionner ces fractions, on utilise un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est \(15\).
\[ \frac{1}{3} = \frac{5}{15} \quad \text{et} \quad \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \] Ainsi : \[ \frac{1}{3}+\frac{1}{5} = \frac{5}{15}+\frac{3}{15} = \frac{5+3}{15} = \frac{8}{15} \]

Étape 2 : Diviser la fraction par \(\frac{8}{15}\)

Nous avons maintenant : \[ \frac{2}{3} \div \frac{8}{15} = \frac{2}{3} \times \frac{15}{8} \] On effectue la multiplication : \[ \frac{2 \times 15}{3 \times 8} = \frac{30}{24} \]

Étape 3 : Simplifier la fraction

On divise numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ici \(6\) : \[ \frac{30 \div 6}{24 \div 6} = \frac{5}{4} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{5}{4}\)

2) Calcul de \(\left[\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}\right] \div \left[\frac{3}{4}+\frac{1}{3}\right]\)

Étape 1 : Calculer le produit dans le numérateur

\[ \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{4 \times 3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

Étape 2 : Calculer la somme dans le dénominateur

Pour additionner \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{1}{3}\), on cherche un dénominateur commun. Le dénominateur commun est \(12\) : \[ \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \quad \text{et} \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \] Ainsi : \[ \frac{3}{4}+\frac{1}{3} = \frac{9}{12}+\frac{4}{12} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \]

Étape 3 : Diviser le numérateur par le dénominateur

\[ \frac{\frac{1}{4}}{\frac{13}{12}} = \frac{1}{4} \times \frac{12}{13} = \frac{12}{52} \]

Étape 4 : Simplifier la fraction

On divise numérateur et dénominateur par \(4\) : \[ \frac{12 \div 4}{52 \div 4} = \frac{3}{13} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{3}{13}\)

3) Calcul de \(\left[\frac{2}{5} \div 3\right] \div \left[\frac{2}{5}+3\right]\)

Étape 1 : Calculer la division dans le numérateur

\[ \frac{2}{5} \div 3 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} \]

Étape 2 : Calculer la somme dans le dénominateur

On écrit \(3\) sous forme de fraction ayant pour dénominateur \(5\) : \[ 3 = \frac{15}{5} \] Ainsi : \[ \frac{2}{5} + 3 = \frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{2+15}{5} = \frac{17}{5} \]

Étape 3 : Diviser les deux résultats

\[ \frac{\frac{2}{15}}{\frac{17}{5}} = \frac{2}{15} \times \frac{5}{17} = \frac{2 \times 5}{15 \times 17} = \frac{10}{255} \]

Étape 4 : Simplifier la fraction

On divise numérateur et dénominateur par \(5\) : \[ \frac{10 \div 5}{255 \div 5} = \frac{2}{51} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{2}{51}\)

4) Calcul de \(\frac{5}{7}+\frac{2}{3} \times \frac{3}{7}\)

Étape 1 : Calculer le produit

\[ \frac{2}{3} \times \frac{3}{7} = \frac{2 \times 3}{3 \times 7} = \frac{6}{21} \] La fraction se simplifie car \(6\) et \(21\) sont divisibles par \(3\) : \[ \frac{6 \div 3}{21 \div 3} = \frac{2}{7} \]

Étape 2 : Effectuer la somme

\[ \frac{5}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5+2}{7} = \frac{7}{7} = 1 \]

Réponse : \(1\) (ou sous forme de fraction irréductible, \(\displaystyle \frac{1}{1}\))

5) Calcul de \(\left(\frac{5}{7}+\frac{2}{3}\right) \div \frac{3}{7}\)

Étape 1 : Calculer la somme dans la parenthèse

On cherche un dénominateur commun pour \(\frac{5}{7}\) et \(\frac{2}{3}\). Celui-ci est \(21\) : \[ \frac{5}{7} = \frac{15}{21} \quad \text{et} \quad \frac{2}{3} = \frac{14}{21} \] Ainsi : \[ \frac{5}{7}+\frac{2}{3} = \frac{15}{21}+\frac{14}{21} = \frac{15+14}{21} = \frac{29}{21} \]

Étape 2 : Diviser par \(\frac{3}{7}\)

\[ \frac{\frac{29}{21}}{\frac{3}{7}} = \frac{29}{21} \times \frac{7}{3} = \frac{29 \times 7}{21 \times 3} \] On remarque que \(21 = 3 \times 7\), ainsi : \[ \frac{29 \times 7}{7 \times 3 \times 3} = \frac{29}{9} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{29}{9}\)

6) Calcul de \(\frac{90}{49} \div \frac{50}{231}\)

Étape 1 : Transformer la division en multiplication

\[ \frac{90}{49} \div \frac{50}{231} = \frac{90}{49} \times \frac{231}{50} \]

Étape 2 : Factoriser pour simplifier

Pour identifier les facteurs communs, on décompose chaque nombre en facteurs premiers :

\(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
\(231 = 3 \times 7 \times 11\)
\(49 = 7^2\)
\(50 = 2 \times 5^2\)

Ainsi, le produit se réécrit : \[ \frac{90}{49} \times \frac{231}{50} = \frac{2 \times 3^2 \times 5 \times 3 \times 7 \times 11}{7^2 \times 2 \times 5^2} \] On regroupe les facteurs : \[ \text{Numerateur : } 2 \times 3^3 \times 5 \times 7 \times 11\quad ; \quad \text{Dénominateur : } 2 \times 7^2 \times 5^2 \]

Étape 3 : Annuler les facteurs communs

Le \(2\) se retrouve au numérateur et au dénominateur.
Le \(5\) se simplifie avec un \(5\) du \(5^2\) du dénominateur, il reste \(5\) dans le dénominateur.
Le \(7\) se simplifie avec l’un des deux \(7\) du \(7^2\), il reste \(7\) dans le dénominateur.

Il reste : \[ \frac{3^3 \times 11}{7 \times 5} = \frac{27 \times 11}{35} \] Calculons \(27 \times 11\) : \[ 27 \times 11 = 297 \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{297}{35}\)

Récapitulatif des réponses

\(\displaystyle \frac{5}{4}\)
\(\displaystyle \frac{3}{13}\)
\(\displaystyle \frac{2}{51}\)
\(1\)
\(\displaystyle \frac{29}{9}\)
\(\displaystyle \frac{297}{35}\)

Chaque étape a été détaillée afin de bien comprendre le raisonnement et le processus de simplification jusqu’à l’obtention d’une fraction irréductible.