Exercice 156

Calculer et exprimer chaque résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(\frac{4}{7} - \frac{3}{14}\)

2. \(\frac{3}{8} \times \frac{12}{27}\)

3. \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{7}\)

4. \(\frac{2}{3} \div 7\)

5. \(\frac{5}{15} + \frac{14}{21}\)

6. \(\left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) \times \frac{10}{3}\)

Réponse

Voici la synthèse des réponses :

1. 5/14
   
2. 1/6
   
3. 7/6
   
4. 2/21
   
5. 1
   
6. 13/6

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque exercice en expliquant les étapes :

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1) Calculer \(\frac{4}{7} - \frac{3}{14}\)

1. Trouver un dénominateur commun :
   Les dénominateurs sont \(7\) et \(14\). On remarque que \(14\) est un multiple de \(7\).
   On écrira donc \(\frac{4}{7}\) avec le dénominateur \(14\) : \[ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 2}{7 \times 2} = \frac{8}{14}. \]

2. Soustraction :
   \[ \frac{8}{14} - \frac{3}{14} = \frac{8-3}{14} = \frac{5}{14}. \] La fraction \(\frac{5}{14}\) ne peut pas être simplifiée davantage.

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2) Calculer \(\frac{3}{8} \times \frac{12}{27}\)

1. Multiplication des fractions :
   On multiplie numérateur avec numérateur et dénominateur avec dénominateur : \[ \frac{3}{8} \times \frac{12}{27} = \frac{3 \times 12}{8 \times 27} = \frac{36}{216}. \]

2. Simplification :
   On peut simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par \(36\) (car \(36 \div 36 = 1\) et \(216 \div 36 = 6\)) : \[ \frac{36}{216} = \frac{1}{6}. \]

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3) Calculer \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{7}\)

1. Division par une fraction :
   Diviser par une fraction revient à multiplier par son réciproque. Le réciproque de \(\frac{3}{7}\) est \(\frac{7}{3}\).
   \[ \frac{1}{2} \div \frac{3}{7} = \frac{1}{2} \times \frac{7}{3}. \]

2. Multiplication :
   \[ \frac{1}{2} \times \frac{7}{3} = \frac{1 \times 7}{2 \times 3} = \frac{7}{6}. \] La fraction \(\frac{7}{6}\) est irréductible.

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4) Calculer \(\frac{2}{3} \div 7\)

1. Écrire 7 sous forme de fraction :
   \(7 = \frac{7}{1}\).

2. Division par 7 :
   \[ \frac{2}{3} \div 7 = \frac{2}{3} \div \frac{7}{1} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{7}. \]

3. Multiplication :
   \[ \frac{2}{3} \times \frac{1}{7} = \frac{2 \times 1}{3 \times 7} = \frac{2}{21}. \] La fraction \(\frac{2}{21}\) est déjà irréductible.

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5) Calculer \(\frac{5}{15} + \frac{14}{21}\)

1. Simplification de chaque fraction :
   \(\frac{5}{15}\) se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par \(5\) : \[ \frac{5}{15} = \frac{1}{3}. \] \(\frac{14}{21}\) se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par \(7\) : \[ \frac{14}{21} = \frac{2}{3}. \]

2. Addition :
   Comme les deux fractions ont le même dénominateur : \[ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1. \] On peut écrire \(1\) sous la forme \(\frac{1}{1}\) si nécessaire.

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6) Calculer \(\left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) \times \frac{10}{3}\)

1. Calcul de la somme \(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\) :
   Trouvons un dénominateur commun pour \(5\) et \(4\). Le dénominateur commun est \(20\). \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} \quad \text{et} \quad \frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}. \] Additionnons maintenant : \[ \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{8+5}{20} = \frac{13}{20}. \]

2. Multiplication par \(\frac{10}{3}\) :
   \[ \frac{13}{20} \times \frac{10}{3} = \frac{13 \times 10}{20 \times 3} = \frac{130}{60}. \]

3. Simplification :
   Divisons le numérateur et le dénominateur par \(10\) : \[ \frac{130}{60} = \frac{13}{6}. \] La fraction \(\frac{13}{6}\) est irréductible.

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Résumé des réponses

1. \(\frac{4}{7} - \frac{3}{14} = \frac{5}{14}\)

2. \(\frac{3}{8} \times \frac{12}{27} = \frac{1}{6}\)

3. \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{7} = \frac{7}{6}\)

4. \(\frac{2}{3} \div 7 = \frac{2}{21}\)

5. \(\frac{5}{15} + \frac{14}{21} = 1\)

6. \(\left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) \times \frac{10}{3} = \frac{13}{6}\)

Chaque résultat est exprimé sous la forme d’une fraction irréductible.