Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\(\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right)\)
\(\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}\right) \div \frac{7}{9}\)
\(\frac{5}{9} \div \frac{6}{7}\)
\(\sqrt{\frac{36}{25}}\)
\(\left(\frac{2}{5}\right)^3\)
\(\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
Voici les réponses finales :
Voici une correction détaillée en plusieurs étapes pour chacun des exercices :
Étape 1 : Additionner les fractions dans la parenthèse
Pour additionner \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{3}\), il faut trouver un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun de 4 et 3 est 12.
\[ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \quad \text{et} \quad \frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}. \]
Donc, \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}. \]
Étape 2 : Multiplier par \(\frac{1}{2}\)
\[ \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} = \frac{1 \times 7}{2 \times 12} = \frac{7}{24}. \]
Le résultat est déjà sous forme irréductible.
Étape 1 : Soustraire \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{1}{2}\)
Trouvons un dénominateur commun pour 3 et 2, qui est 6.
\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \quad \text{et} \quad \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}. \]
Ainsi, \[ \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}. \]
Étape 2 : Diviser par \(\frac{7}{9}\)
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[ \frac{1}{6} \div \frac{7}{9} = \frac{1}{6} \times \frac{9}{7} = \frac{1 \times 9}{6 \times 7} = \frac{9}{42}. \]
Étape 3 : Simplifier la fraction
Divisons le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, qui est 3 :
\[ \frac{9 \div 3}{42 \div 3} = \frac{3}{14}. \]
Étape 1 : Multiplier par l’inverse
La division par une fraction s’effectue en multipliant par son inverse :
\[ \frac{5}{9} \div \frac{6}{7} = \frac{5}{9} \times \frac{7}{6} = \frac{5 \times 7}{9 \times 6} = \frac{35}{54}. \]
La fraction \(\frac{35}{54}\) est déjà irréductible.
Étape 1 : Appliquer la propriété de la racine sur une fraction
La racine carrée d’une fraction s’obtient en appliquant la racine à numérateur et dénominateur :
\[ \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}. \]
Étape 2 : Calculer les racines
\[ \sqrt{36} = 6 \quad \text{et} \quad \sqrt{25} = 5. \]
Ainsi, \[ \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}. \]
Étape 1 : Élever au cube
Elever une fraction au cube consiste à élever séparément le numérateur et le dénominateur à la puissance 3 :
\[ \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}. \]
La fraction \(\frac{8}{125}\) est irréductible.
Étape 1 : Calculer le carré de \(\frac{1}{2}\)
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}. \]
Étape 2 : Soustraire \(\frac{1}{4}\) à \(\frac{1}{2}\)
Mettons \(\frac{1}{2}\) sous forme de fraction avec dénominateur 4 :
\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4}. \]
Alors, \[ \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. \]
Chaque étape est expliquée clairement afin de montrer la logique et les opérations nécessaires. Ces réponses sont présentées sous forme de fractions irréductibles.