Exercice 154

Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(\frac{1}{3} + \frac{5}{6}\)

2. \(\frac{30}{77} \times \frac{33}{40}\)

3. \(\frac{42}{55} \div \frac{77}{75}\)

4. \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{5}\)

5. \(\frac{5}{12} - \frac{1}{4}\)

6. \(\frac{1}{4} \times \frac{5}{12}\)

Réponse

1. 7/6
   
2. 9/28
   
3. 90/121
   
4. 4/45
   
5. 1/6
   
6. 5/48

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacun des calculs demandés :

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1) Calcul de \(\frac{1}{3} + \frac{5}{6}\)

1. Trouver un dénominateur commun
   Les dénominateurs donnés sont 3 et 6. Le plus petit commun multiple (PPCM) de 3 et 6 est 6.

2. Mettre la première fraction sur le même dénominateur
   \[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \]

3. Additionner les fractions
   \[ \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{2+5}{6} = \frac{7}{6} \]

4. Vérifier l’irréductibilité
   La fraction \(\frac{7}{6}\) est irréductible car 7 et 6 n’ont aucun diviseur commun (à l’exception de 1).

Réponse : \(\displaystyle \frac{7}{6}\)

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2) Calcul de \(\frac{30}{77} \times \frac{33}{40}\)

1. Multiplier les numérateurs et les dénominateurs
   On a : \[ \frac{30}{77} \times \frac{33}{40} = \frac{30 \times 33}{77 \times 40} \]

2. Calculer les produits
   \[ 30 \times 33 = 990 \quad \text{et} \quad 77 \times 40 = 3080 \] Donc, la fraction vaut : \[ \frac{990}{3080} \]

3. Simplifier la fraction

   • Divisons le numérateur et le dénominateur par 10 : \[ \frac{990}{3080} = \frac{99}{308} \]
   • Cherchons ensuite un facteur commun. On remarque que : \[ 99 = 9 \times 11 \quad \text{et} \quad 308 = 28 \times 11 \]
   • On peut alors simplifier par 11 : \[ \frac{99}{308} = \frac{9}{28} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{9}{28}\)

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3) Calcul de \(\frac{42}{55} \div \frac{77}{75}\)

1. Transformer la division en multiplication par le réciproque
   \[ \frac{42}{55} \div \frac{77}{75} = \frac{42}{55} \times \frac{75}{77} \]

2. Factoriser chaque nombre pour simplifier avant de multiplier

   • \(42 = 2 \times 3 \times 7\)
     
   • \(55 = 5 \times 11\)
     
   • \(75 = 3 \times 5 \times 5\)
     
   • \(77 = 7 \times 11\)

3. Écrire la multiplication avec les facteurs
   \[ \frac{2 \times 3 \times 7}{5 \times 11} \times \frac{3 \times 5 \times 5}{7 \times 11} \]

4. Simplifier les facteurs communs

   • Le facteur \(7\) se simplifie :
     \(\frac{7}{7} = 1\)
   • Un facteur \(5\) se simplifie :
     \(\frac{5}{5} = 1\)

   On obtient alors : \[ \frac{2 \times 3 \times 3 \times 5}{11 \times 11} = \frac{2 \times 9 \times 5}{121} = \frac{90}{121} \]

5. Vérifier l’irréductibilité
   La fraction \(\frac{90}{121}\) est irréductible car 90 et 121 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

Réponse : \(\displaystyle \frac{90}{121}\)

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4) Calcul de \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{5}\)

1. Calculer le carré de \(\frac{2}{3}\)
   \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \]

2. Multiplier par \(\frac{1}{5}\)
   \[ \frac{4}{9} \times \frac{1}{5} = \frac{4 \times 1}{9 \times 5} = \frac{4}{45} \]

3. Vérifier l’irréductibilité
   La fraction \(\frac{4}{45}\) est irréductible.

Réponse : \(\displaystyle \frac{4}{45}\)

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5) Calcul de \(\frac{5}{12} - \frac{1}{4}\)

1. Trouver un dénominateur commun
   Le dénominateur commun pour 12 et 4 est 12.

2. Exprimer \(\frac{1}{4}\) avec le dénominateur 12
   \[ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \]

3. Soustraire les fractions
   \[ \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5-3}{12} = \frac{2}{12} \]

4. Simplifier la fraction
   \[ \frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6} \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{1}{6}\)

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6) Calcul de \(\frac{1}{4} \times \frac{5}{12}\)

1. Multiplier les numérateurs et les dénominateurs
   \[ \frac{1}{4} \times \frac{5}{12} = \frac{1 \times 5}{4 \times 12} = \frac{5}{48} \]

2. Vérifier l’irréductibilité
   La fraction \(\frac{5}{48}\) est irréductible car 5 est un nombre premier qui ne divise pas 48.

Réponse : \(\displaystyle \frac{5}{48}\)

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Chaque étape a permis de simplifier correctement les expressions et d’obtenir les résultats sous forme de fractions irréductibles.