Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
\(\left(\frac{5}{3}\right)^3 \cdot \frac{2}{15}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \frac{12}{5}\)
\(\frac{18}{49} \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^3\)
\(\left(\frac{6}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{9}\right)^3\)
Réponses : 1) 50/81, 2) 32/45, 3) 14/3, 4) 20/81.
Voici la correction détaillée de chaque exercice.
Enoncé :
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible
:
\[
\left(\frac{5}{3}\right)^3 \cdot \frac{2}{15}
\]
Étape 1 : Calcul de la puissance
On calcule d’abord \(\left(\frac{5}{3}\right)^3\). Pour cela, on
élève le numérateur et le dénominateur à la puissance 3 : \[
\left(\frac{5}{3}\right)^3 = \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}.
\]
Étape 2 : Multiplication par \(\frac{2}{15}\)
Nous multiplions ensuite la fraction obtenue par \(\frac{2}{15}\) : \[
\frac{125}{27} \times \frac{2}{15} = \frac{125 \times 2}{27 \times 15} =
\frac{250}{405}.
\]
Étape 3 : Simplification de la fraction
Pour réduire \(\frac{250}{405}\), on
cherche un diviseur commun aux deux nombres.
- Divisons le numérateur et le dénominateur par \(5\) : \[
250 \div 5 = 50 \quad \text{et} \quad 405 \div 5 = 81.
\]
On obtient alors : \[ \frac{250}{405} = \frac{50}{81}. \]
Aucune simplification supplémentaire n’est possible puisque \(50 = 2 \times 5^2\) et \(81 = 3^4\) n’ont pas de facteur commun.
Réponse de l’exercice 1 :
\[
\frac{50}{81}
\]
Enoncé :
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible
:
\[
\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \frac{12}{5}
\]
Étape 1 : Calcul de la puissance
Calculons \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\) en élevant
numérateur et dénominateur à la puissance 3 : \[
\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}.
\]
Étape 2 : Multiplication par \(\frac{12}{5}\)
On multiplie ensuite : \[
\frac{8}{27} \times \frac{12}{5} = \frac{8 \times 12}{27 \times 5} =
\frac{96}{135}.
\]
Étape 3 : Simplification de la fraction
On simplifie \(\frac{96}{135}\) en
divisant numérateur et dénominateur par un facteur commun.
- Divisons par \(3\) : \[
96 \div 3 = 32 \quad \text{et} \quad 135 \div 3 = 45.
\]
La fraction devient : \[ \frac{96}{135} = \frac{32}{45}. \]
Aucune simplification supplémentaire n’est possible.
Réponse de l’exercice 2 :
\[
\frac{32}{45}
\]
Enoncé :
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible
:
\[
\frac{18}{49} \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^3
\]
Étape 1 : Calcul de la puissance
Calculons \(\left(\frac{7}{3}\right)^3\) : \[
\left(\frac{7}{3}\right)^3 = \frac{7^3}{3^3} = \frac{343}{27}.
\]
Étape 2 : Multiplication
On multiplie les deux fractions : \[
\frac{18}{49} \times \frac{343}{27} = \frac{18 \times 343}{49 \times
27}.
\]
Étape 3 : Simplification par facteurs communs
Pour simplifier, écrivons les nombres sous forme de facteurs premiers :
- \(18 = 2 \times 3^2\) - \(27 = 3^3\) - \(49
= 7^2\) - \(343 = 7^3\)
La multiplication s’écrit alors : \[ \frac{2 \times 3^2 \times 7^3}{7^2 \times 3^3}. \]
On simplifie : - Pour le facteur \(3\) : \(3^2\) dans le numérateur et \(3^3\) dans le dénominateur donne un facteur \(1/3\). - Pour le facteur \(7\) : \(7^3\) dans le numérateur et \(7^2\) dans le dénominateur donnent un facteur \(7\).
Il reste : \[ \frac{2 \times 7}{3} = \frac{14}{3}. \]
Réponse de l’exercice 3 :
\[
\frac{14}{3}
\]
Enoncé :
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible
:
\[
\left(\frac{6}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{9}\right)^3
\]
Étape 1 : Calcul des puissances
Calculons d’abord chaque terme séparément.
Pour \(\left(\frac{6}{5}\right)^2\) : \[ \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{6^2}{5^2} = \frac{36}{25}. \]
Pour \(\left(\frac{5}{9}\right)^3\) : \[ \left(\frac{5}{9}\right)^3 = \frac{5^3}{9^3} = \frac{125}{729}. \]
Étape 2 : Multiplication
On multiplie les deux résultats : \[
\frac{36}{25} \times \frac{125}{729} = \frac{36 \times 125}{25 \times
729}.
\]
Étape 3 : Simplification
On remarque que \(125\) et \(25\) ont un facteur commun puisque : \[
\frac{125}{25} = 5.
\] La multiplication devient : \[
\frac{36 \times 5}{729} = \frac{180}{729}.
\]
Pour simplifier \(\frac{180}{729}\), divisons le numérateur et le dénominateur par \(9\) : \[ 180 \div 9 = 20 \quad \text{et} \quad 729 \div 9 = 81. \] On obtient ainsi : \[ \frac{180}{729} = \frac{20}{81}. \]
Aucune autre simplification n’est possible car \(20 = 2^2 \times 5\) et \(81 = 3^4\) ne possèdent pas de facteur commun.
Réponse de l’exercice 4 :
\[
\frac{20}{81}
\]
\(\displaystyle \frac{50}{81}\)
\(\displaystyle \frac{32}{45}\)
\(\displaystyle \frac{14}{3}\)
\(\displaystyle \frac{20}{81}\)
Cette démarche détaillée permet de comprendre pas à pas comment effectuer chacune des opérations et obtenir les fractions irréductibles correspondantes.