Calculer et exprimer le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\(\left(\frac{5}{3}\right)^2 \cdot \frac{2}{9}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{8}{5}\)
\(\frac{6}{7} \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^2\)
\(\frac{5}{4} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4\)
Voici la correction détaillée en français pour chacun des calculs :
Étape 1 : Élever \(\frac{5}{3}\) au carré
\[ \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9} \]
Étape 2 : Multiplier par \(\frac{2}{9}\)
\[ \frac{25}{9} \times \frac{2}{9} = \frac{25 \times 2}{9 \times 9} = \frac{50}{81} \]
Le résultat sous forme de fraction irréductible est donc :
\[ \boxed{\frac{50}{81}} \]
Étape 1 : Élever \(\frac{2}{3}\) au carré
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \]
Étape 2 : Multiplier par \(\frac{8}{5}\)
\[ \frac{4}{9} \times \frac{8}{5} = \frac{4 \times 8}{9 \times 5} = \frac{32}{45} \]
La fraction \(\frac{32}{45}\) est déjà irréductible puisque 32 et 45 n’ont pas de diviseurs communs autres que 1. Ainsi, le résultat est :
\[ \boxed{\frac{32}{45}} \]
Étape 1 : Élever \(\frac{7}{3}\) au carré
\[ \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9} \]
Étape 2 : Multiplier par \(\frac{6}{7}\)
\[ \frac{6}{7} \times \frac{49}{9} = \frac{6 \times 49}{7 \times 9} \]
On remarque que \(49 = 7 \times 7\) et la fraction se simplifie en annulant le 7 commun :
\[ = \frac{6 \times 7}{9} = \frac{42}{9} \]
Étape 3 : Simplifier la fraction
Divisons le numérateur et le dénominateur par 3 :
\[ \frac{42 \div 3}{9 \div 3} = \frac{14}{3} \]
Le résultat sous forme de fraction irréductible est :
\[ \boxed{\frac{14}{3}} \]
Étape 1 : Élever \(\frac{2}{3}\) à la puissance 4
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} \]
Étape 2 : Multiplier par \(\frac{5}{4}\)
\[ \frac{5}{4} \times \frac{16}{81} = \frac{5 \times 16}{4 \times 81} = \frac{80}{324} \]
Étape 3 : Simplifier la fraction
On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 4 :
\[ \frac{80 \div 4}{324 \div 4} = \frac{20}{81} \]
La fraction \(\frac{20}{81}\) est irréductible puisque 20 et 81 n’ont pas de diviseurs communs autres que 1. Ainsi, le résultat final est :
\[ \boxed{\frac{20}{81}} \]
Chaque étape a permis de transformer et de simplifier les expressions, obtenant ainsi des fractions irréductibles pour chacun des exercices.