Exercice :
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
\[ \frac{13}{27} \cdot \frac{18}{5} + \frac{13}{210} \cdot \frac{28}{65} \]
\[ \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{14} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{7} \]
\[ \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \]
\[ 5 \cdot \frac{5}{9} - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{5} \]
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\[ \frac{13}{27} \cdot \frac{18}{5} + \frac{13}{210} \cdot \frac{28}{65} \]
Étape 1 : Calcul du premier terme
Nous avons \[ \frac{13}{27} \cdot \frac{18}{5}. \] Multiplions les numérateurs et les dénominateurs : \[ \frac{13 \times 18}{27 \times 5} = \frac{234}{135}. \] Pour simplifier, nous cherchons un diviseur commun. Remarquons que 234 et 135 se divisent par 9 : \[ 234 \div 9 = 26 \quad \text{et} \quad 135 \div 9 = 15. \] On obtient ainsi : \[ \frac{234}{135} = \frac{26}{15}. \]
Étape 2 : Calcul du deuxième terme
Nous avons \[ \frac{13}{210} \cdot \frac{28}{65}. \] Multiplication des numérateurs et des dénominateurs : \[ \frac{13 \times 28}{210 \times 65}. \] On remarque que 65 peut s’écrire \(13 \times 5\), ce qui permet d’annuler le 13 : \[ \frac{13 \times 28}{210 \times 65} = \frac{28}{210 \times 5} = \frac{28}{1050}. \] Ensuite, simplifions \(\frac{28}{1050}\). Divisons le numérateur et le dénominateur par 7 : \[ 28 \div 7 = 4 \quad \text{et} \quad 1050 \div 7 = 150, \] ce qui donne : \[ \frac{28}{1050} = \frac{4}{150}. \] Puis, divisons par 2 : \[ \frac{4 \div 2}{150 \div 2} = \frac{2}{75}. \]
Étape 3 : Addition des deux termes
Nous avons donc : \[ \frac{26}{15} + \frac{2}{75}. \] Pour additionner, exprimons les deux fractions avec un dénominateur commun. Comme \(15 \times 5 = 75\), on peut écrire : \[ \frac{26}{15} = \frac{26 \times 5}{15 \times 5} = \frac{130}{75}. \] Ainsi, la somme devient : \[ \frac{130}{75} + \frac{2}{75} = \frac{130 + 2}{75} = \frac{132}{75}. \] Enfin, simplifions \(\frac{132}{75}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 : \[ 132 \div 3 = 44 \quad \text{et} \quad 75 \div 3 = 25, \] ce qui donne le résultat irréductible : \[ \frac{44}{25}. \]
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\[ \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{14} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{7} \]
Étape 1 : Calcul du premier terme
Nous avons : \[ \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{14} = \frac{7 \times 5}{12 \times 14} = \frac{35}{168}. \] Simplifions en divisant le numérateur et le dénominateur par 7 : \[ 35 \div 7 = 5 \quad \text{et} \quad 168 \div 7 = 24, \] ce qui donne : \[ \frac{35}{168} = \frac{5}{24}. \]
Étape 2 : Calcul du deuxième terme
Nous avons : \[ \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{4 \times 2}{3 \times 7} = \frac{8}{21}. \]
Étape 3 : Addition des deux termes
Additionnons les fractions : \[ \frac{5}{24} + \frac{8}{21}. \] Pour additionner, cherchons un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de 24 et 21 est 168 (puisque \(24 \times 7 = 168\) et \(21 \times 8 = 168\)). Ainsi, \[ \frac{5}{24} = \frac{5 \times 7}{24 \times 7} = \frac{35}{168}, \] et \[ \frac{8}{21} = \frac{8 \times 8}{21 \times 8} = \frac{64}{168}. \] La somme est alors : \[ \frac{35}{168} + \frac{64}{168} = \frac{35 + 64}{168} = \frac{99}{168}. \] Simplifions en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 : \[ 99 \div 3 = 33 \quad \text{et} \quad 168 \div 3 = 56. \] Nous obtenons ainsi : \[ \frac{99}{168} = \frac{33}{56}. \]
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\[ \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \]
Étape 1 : Calcul du premier terme
Nous avons : \[ \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{6} = \frac{4 \times 7}{5 \times 6} = \frac{28}{30}. \] Simplifions en divisant par 2 : \[ 28 \div 2 = 14 \quad \text{et} \quad 30 \div 2 = 15, \] donc : \[ \frac{28}{30} = \frac{14}{15}. \]
Étape 2 : Calcul du deuxième terme
Nous avons : \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \times 4}{2 \times 9} = \frac{4}{18}. \] Simplifions en divisant par 2 : \[ 4 \div 2 = 2 \quad \text{et} \quad 18 \div 2 = 9, \] donc : \[ \frac{4}{18} = \frac{2}{9}. \]
Étape 3 : Soustraction des deux termes
Nous devons effectuer : \[ \frac{14}{15} - \frac{2}{9}. \] Pour soustraire, cherchons un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de 15 et 9 est 45. Ainsi, \[ \frac{14}{15} = \frac{14 \times 3}{15 \times 3} = \frac{42}{45}, \] et \[ \frac{2}{9} = \frac{2 \times 5}{9 \times 5} = \frac{10}{45}. \] La soustraction donne : \[ \frac{42}{45} - \frac{10}{45} = \frac{42 - 10}{45} = \frac{32}{45}. \] La fraction \(\frac{32}{45}\) est irréductible.
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :
\[ 5 \cdot \frac{5}{9} - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{5} \]
Étape 1 : Calcul du premier terme
Nous avons : \[ 5 \cdot \frac{5}{9} = \frac{5 \times 5}{9} = \frac{25}{9}. \]
Étape 2 : Calcul du deuxième terme
Nous avons : \[ \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \times 2}{2 \times 5} = \frac{14}{10}. \] Simplifions en divisant par 2 : \[ 14 \div 2 = 7 \quad \text{et} \quad 10 \div 2 = 5, \] donc : \[ \frac{14}{10} = \frac{7}{5}. \]
Étape 3 : Soustraction des deux termes
Nous devons calculer : \[ \frac{25}{9} - \frac{7}{5}. \] Pour soustraire, trouvons un dénominateur commun. Le plus petit multiple commun de 9 et 5 est 45. Ainsi, \[ \frac{25}{9} = \frac{25 \times 5}{9 \times 5} = \frac{125}{45}, \] et \[ \frac{7}{5} = \frac{7 \times 9}{5 \times 9} = \frac{63}{45}. \] La différence est : \[ \frac{125}{45} - \frac{63}{45} = \frac{125 - 63}{45} = \frac{62}{45}. \] La fraction \(\frac{62}{45}\) ne peut pas être simplifiée davantage.
\(\displaystyle \frac{44}{25}\)
\(\displaystyle \frac{33}{56}\)
\(\displaystyle \frac{32}{45}\)
\(\displaystyle \frac{62}{45}\)
Ces résultats sont donnés sous forme de fractions irréductibles.