Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
\(2 \cdot \frac{3}{4} + 7 \cdot \frac{2}{3}\)
\(2 \cdot \frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{5}{6}\)
\(7 \cdot \frac{2}{14} - \frac{4}{7}\)
\(14 \cdot \frac{5}{21} - 5 \cdot \frac{7}{15}\)
Réponses :
1) 37/6
2) 41/10
3) 3/7
4) 1
Voici la correction détaillée de chacun des exercices en suivant les étapes de calcul :
\[ 2 \cdot \frac{3}{4} + 7 \cdot \frac{2}{3} \]
Étape 1 : Calculer chaque terme séparément
Pour le premier terme :
\[
2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{4} = \frac{6}{4} \quad \text{que
nous simplifions en} \quad \frac{3}{2}.
\]
Pour le second terme :
\[
7 \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \times 2}{3} = \frac{14}{3}.
\]
Étape 2 : Additionner les deux fractions
Nous avons ainsi :
\[
\frac{3}{2} + \frac{14}{3}.
\]
Pour additionner ces fractions, il faut trouver un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun de 2 et 3 est 6.
Réécrivons la première fraction :
\[
\frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6}.
\]
Réécrivons la seconde fraction :
\[
\frac{14}{3} = \frac{14 \times 2}{3 \times 2} = \frac{28}{6}.
\]
Étape 3 : Additionner et simplifier
Additionnons les fractions :
\[
\frac{9}{6} + \frac{28}{6} = \frac{9+28}{6} = \frac{37}{6}.
\]
La fraction \(\frac{37}{6}\) est irréductible puisque 37 est un nombre premier et n’a aucun diviseur commun avec 6.
Résultat :
\[
\boxed{\frac{37}{6}}
\]
\[ 2 \cdot \frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{5}{6} \]
Étape 1 : Calculer chaque terme séparément
Pour le premier terme :
\[
2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5}.
\]
Pour le second terme :
\[
3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \times 5}{6} = \frac{15}{6}.
\]
Remarquons que \(\frac{15}{6}\) peut
être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par 3
:
\[
\frac{15}{6} = \frac{15 \div 3}{6 \div 3} = \frac{5}{2}.
\]
Nous pouvons utiliser soit \(\frac{15}{6}\) soit \(\frac{5}{2}\). Ici, nous utiliserons \(\frac{15}{6}\) pour trouver le dénominateur commun.
Étape 2 : Trouver un dénominateur commun et additionner
Nous avons :
\[
\frac{8}{5} + \frac{15}{6}.
\]
Le dénominateur commun de 5 et 6 est 30.
Réécrivons \(\frac{8}{5}\) avec
le dénominateur 30 :
\[
\frac{8}{5} = \frac{8 \times 6}{5 \times 6} = \frac{48}{30}.
\]
Réécrivons \(\frac{15}{6}\) avec
le dénominateur 30 :
\[
\frac{15}{6} = \frac{15 \times 5}{6 \times 5} = \frac{75}{30}.
\]
Additionnons les fractions :
\[
\frac{48}{30} + \frac{75}{30} = \frac{48 + 75}{30} = \frac{123}{30}.
\]
Étape 3 : Simplifier la fraction
Simplifions \(\frac{123}{30}\) en remarquant que 123 et 30 sont divisibles par 3 :
Résultat :
\[
\boxed{\frac{41}{10}}
\]
\[ 7 \cdot \frac{2}{14} - \frac{4}{7} \]
Étape 1 : Simplifier le premier terme
Effectuons le calcul :
\[
7 \cdot \frac{2}{14} = \frac{7 \times 2}{14} = \frac{14}{14} = 1.
\]
Étape 2 : Réécrire la soustraction
L’expression est alors :
\[
1 - \frac{4}{7}.
\]
Pour écrire 1 sous forme de fraction ayant 7 comme dénominateur, on
écrit :
\[
1 = \frac{7}{7}.
\]
On a donc :
\[
\frac{7}{7} - \frac{4}{7} = \frac{7-4}{7} = \frac{3}{7}.
\]
Résultat :
\[
\boxed{\frac{3}{7}}
\]
\[ 14 \cdot \frac{5}{21} - 5 \cdot \frac{7}{15} \]
Étape 1 : Calculer chaque terme séparément
Pour le premier terme :
\[
14 \cdot \frac{5}{21} = \frac{14 \times 5}{21} = \frac{70}{21}.
\]
Simplifions \(\frac{70}{21}\) en
divisant le numérateur et le dénominateur par 7 :
\[
\frac{70 \div 7}{21 \div 7} = \frac{10}{3}.
\]
Pour le second terme :
\[
5 \cdot \frac{7}{15} = \frac{5 \times 7}{15} = \frac{35}{15}.
\]
Simplifions \(\frac{35}{15}\) en
divisant le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[
\frac{35 \div 5}{15 \div 5} = \frac{7}{3}.
\]
Étape 2 : Effectuer la soustraction
Nous avons désormais :
\[
\frac{10}{3} - \frac{7}{3}.
\]
Puisque les dénominateurs sont les mêmes, la soustraction se fait
directement :
\[
\frac{10-7}{3} = \frac{3}{3} = 1.
\]
Résultat :
\[
\boxed{1}
\]
Ces calculs détaillés vous permettent d’arriver aux résultats sous forme de fractions irréductibles pour chaque expression.