Exercice :
Effectuez les divisions suivantes et donnez le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
Les réponses finales sont :
1) 25/24
2) 75/4
3) 16/5
4) 27/20
5) 84/5
6) 72/25
Voici la correction détaillée de chaque division en exprimant le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
Pour diviser par une fraction, on multiplie par son « inverse ». Autrement dit, pour toute fraction \(\frac{a}{b}\) (où \(a,b\) sont des nombres avec \(b\neq 0\)) :
\[ c \div \frac{a}{b} = c \times \frac{b}{a} \]
Nous appliquons cette règle pour chacun des exercices.
Étape 1 : Transformer la division en multiplication par l’inverse.
\[ \frac{33}{8} \div \frac{99}{25} = \frac{33}{8} \times \frac{25}{99} \]
Étape 2 : Simplifier les facteurs communs.
On observe que \(33\) et \(99\) ont un facteur commun. En effet :
\[ \frac{33}{99} = \frac{33 \div 33}{99 \div 33} = \frac{1}{3} \]
La multiplication devient donc :
\[ \frac{33}{8} \times \frac{25}{99} = \frac{1}{8} \times \frac{25}{3} = \frac{25}{24} \]
Réponse : \(\displaystyle \frac{25}{24}\)
Étape 1 : Écrire 5 sous forme de fraction.
\[ 5 = \frac{5}{1} \]
Étape 2 : Effectuer la division en multipliant par l’inverse de \(\frac{4}{15}\).
\[ \frac{5}{1} \div \frac{4}{15} = \frac{5}{1} \times \frac{15}{4} \]
Étape 3 : Calculer le produit.
\[ \frac{5 \times 15}{1 \times 4} = \frac{75}{4} \]
Les nombres 75 et 4 n’ont pas de diviseur commun autre que 1, donc la fraction est irréductible.
Réponse : \(\displaystyle \frac{75}{4}\)
Étape 1 : Transformer la division en multiplication par l’inverse.
\[ \frac{26}{5} \div \frac{39}{24} = \frac{26}{5} \times \frac{24}{39} \]
Étape 2 : Simplifier en remarquant que \(26\) et \(39\) ont un facteur commun.
On peut écrire :
\[ 26 = 2 \times 13 \quad \text{et} \quad 39 = 3 \times 13 \]
En annulant le facteur 13 :
\[ \frac{26}{39} = \frac{2}{3} \]
La multiplication devient :
\[ \frac{2}{5} \times \frac{24}{3} \]
Étape 3 : Simplifier \(\frac{24}{3}\).
\[ \frac{24}{3} = 8 \]
Étape 4 : Calcul final :
\[ \frac{2}{5} \times 8 = \frac{16}{5} \]
Réponse : \(\displaystyle \frac{16}{5}\)
Étape 1 : Transformer la division en multiplication par l’inverse :
\[ \frac{15}{12} \div \frac{25}{27} = \frac{15}{12} \times \frac{27}{25} \]
Étape 2 : Simplifier les facteurs communs.
Simplifions d’abord \(15\) et
\(25\) :
Divisons par 5 : \[
\frac{15}{25} = \frac{3}{5}
\]
Ensuite, simplifions \(27\) et
\(12\) :
Divisons par 3 : \[
\frac{27}{12} = \frac{9}{4}
\]
Ainsi, l’expression se transforme en :
\[ \frac{3}{4} \times \frac{9}{5} \]
Étape 3 : Calcul du produit :
\[ \frac{3 \times 9}{4 \times 5} = \frac{27}{20} \]
Réponse : \(\displaystyle \frac{27}{20}\)
Étape 1 : Transformer la division en multiplication par l’inverse :
\[ \frac{72}{5} \div \frac{90}{105} = \frac{72}{5} \times \frac{105}{90} \]
Étape 2 : Simplifier \(\frac{105}{90}\).
On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 15 :
\[ \frac{105}{90} = \frac{105 \div 15}{90 \div 15} = \frac{7}{6} \]
L’opération devient :
\[ \frac{72}{5} \times \frac{7}{6} \]
Étape 3 : Simplifier le produit en remarquant que 72 et 6 ont un facteur commun :
\[ 72 \div 6 = 12 \]
Ainsi, on obtient :
\[ \frac{12}{5} \times 7 = \frac{12 \times 7}{5} = \frac{84}{5} \]
Réponse : \(\displaystyle \frac{84}{5}\)
Étape 1 : Transformer la division en multiplication par l’inverse :
\[ \frac{3}{5} \div \frac{5}{24} = \frac{3}{5} \times \frac{24}{5} \]
Étape 2 : Calculer le produit :
\[ \frac{3 \times 24}{5 \times 5} = \frac{72}{25} \]
Les nombres 72 et 25 n’ont pas de facteur commun autre que 1, donc la fraction est irréductible.
Réponse : \(\displaystyle \frac{72}{25}\)
Chaque étape a été détaillée pour montrer comment passer de l’énoncé au résultat final.