Exercice 142

Exercice

Effectuez les divisions suivantes et exprimez chaque résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(\frac{9}{5} \div 1\)
   
2. \(1 \div \frac{4}{7}\)
   
3. \(\frac{17}{4} \div \frac{4}{17}\)
   
4. \(\frac{12}{7} \div \frac{12}{7}\)
   
5. \(\frac{4}{5} \div \frac{2}{5}\)
   
6. \(\frac{121}{56} \div \frac{11}{8}\)

Réponse

Les réponses sont les suivantes :

1. 9/5
   
2. 7/4
   
3. 289/16
   
4. 1
   
5. 2
   
6. 11/7

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque division :

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Rappel général

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse (réciproque).
En effet, pour tout réel non nul \(a\) et tout couple de nombres \(\frac{b}{c}\) (avec \(b, c \neq 0\)) :
\[ a \div \frac{b}{c} = a \times \frac{c}{b} \]

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1) \(\frac{9}{5} \div 1\)

Étapes :

• Diviser par 1 ne change pas le nombre. Ainsi,
  \[ \frac{9}{5} \div 1 = \frac{9}{5} \]

• La fraction \(\frac{9}{5}\) est déjà irréductible.

Résultat : \(\displaystyle \frac{9}{5}\)

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2) \(1 \div \frac{4}{7}\)

Étapes :

1. Écrire la division sous forme de multiplication par le réciproque de \(\frac{4}{7}\) : \[ 1 \div \frac{4}{7} = 1 \times \frac{7}{4} \]
2. Effectuer la multiplication :
   \[ 1 \times \frac{7}{4} = \frac{7}{4} \]

Résultat : \(\displaystyle \frac{7}{4}\)

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3) \(\frac{17}{4} \div \frac{4}{17}\)

Étapes :

1. Multiplier par le réciproque de \(\frac{4}{17}\) : \[ \frac{17}{4} \div \frac{4}{17} = \frac{17}{4} \times \frac{17}{4} \]

2. Calculer le produit des numérateurs et des dénominateurs : \[ \frac{17 \times 17}{4 \times 4} = \frac{289}{16} \]

3. La fraction \(\frac{289}{16}\) est déjà irréductible.

Résultat : \(\displaystyle \frac{289}{16}\)

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4) \(\frac{12}{7} \div \frac{12}{7}\)

Étapes :

• Une fraction divisée par elle-même donne \(1\) (à condition que la fraction ne soit pas nulle) : \[ \frac{12}{7} \div \frac{12}{7} = 1 \]

• Pour exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible, on peut écrire \(1\) comme \(\frac{1}{1}\).

Résultat : \(\displaystyle \frac{1}{1}\) ou simplement \(1\)

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5) \(\frac{4}{5} \div \frac{2}{5}\)

Étapes :

1. Multiplier par le réciproque de \(\frac{2}{5}\) : \[ \frac{4}{5} \div \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{2} \]
2. Calculer la multiplication : \[ \frac{4 \times 5}{5 \times 2} = \frac{20}{10} \]
3. Simplifier la fraction \(\frac{20}{10}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 10 : \[ \frac{20 \div 10}{10 \div 10} = \frac{2}{1} = 2 \]

Résultat : \(\displaystyle 2\)

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6) \(\frac{121}{56} \div \frac{11}{8}\)

Étapes :

1. Multiplier par le réciproque de \(\frac{11}{8}\) : \[ \frac{121}{56} \div \frac{11}{8} = \frac{121}{56} \times \frac{8}{11} \]
2. Avant de multiplier, simplifions en remarquant que \(121 = 11 \times 11\) : \[ \frac{11 \times 11}{56} \times \frac{8}{11} \]
3. On peut annuler un facteur \(11\) commun au numérateur et au dénominateur : \[ = \frac{11 \times \cancel{11}}{56} \times \frac{8}{\cancel{11}} = \frac{11 \times 8}{56} \]
4. Calcul du produit : \[ \frac{88}{56} \]
5. Simplifions la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 8 : \[ \frac{88 \div 8}{56 \div 8} = \frac{11}{7} \]

Résultat : \(\displaystyle \frac{11}{7}\)

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Résumé des réponses

1. \(\displaystyle \frac{9}{5}\)
   
2. \(\displaystyle \frac{7}{4}\)
   
3. \(\displaystyle \frac{289}{16}\)
   
4. \(\displaystyle \frac{1}{1}\) ou \(1\)
   
5. \(2\)
   
6. \(\displaystyle \frac{11}{7}\)