Effectuez les opérations suivantes et exprimez chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible :
Les réponses de l’exercice sont :
1) 16/7
2) 9/10
3) 2/15
4) 98/15
5) 27/13
6) 9/2
Voici la correction détaillée de chaque opération.
Etape 1 : Rappel de la règle
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
On écrit donc : \[
\frac{12}{7} \div \frac{3}{4} = \frac{12}{7} \times \frac{4}{3}
\]
Etape 2 : Multiplication
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[
\frac{12 \times 4}{7 \times 3} = \frac{48}{21}
\]
Etape 3 : Simplification
Identifions un diviseur commun. Ici, 48 et 21 sont tous deux divisibles
par 3 : \[
\frac{48 \div 3}{21 \div 3} = \frac{16}{7}
\] Le résultat \(\frac{16}{7}\)
est une fraction irréductible.
Etape 1 : Changer la division en
multiplication
\[
\frac{14}{36} \div \frac{35}{81} = \frac{14}{36} \times \frac{81}{35}
\]
Etape 2 : Simplifier avant de multiplier
On peut simplifier quelques facteurs : - \(14\) et \(35\) ont un facteur commun \(7\) : \[
14 \div 7 = 2 \quad \text{et} \quad 35 \div 7 = 5.
\] - \(81\) et \(36\) ont un facteur commun \(9\) : \[
81 \div 9 = 9 \quad \text{et} \quad 36 \div 9 = 4.
\]
Après ces simplifications, l’expression devient : \[ \frac{2}{4} \times \frac{9}{5} \]
Etape 3 : Simplification supplémentaire
La fraction \(\frac{2}{4}\) se
simplifie en \(\frac{1}{2}\) : \[
\frac{1}{2} \times \frac{9}{5} = \frac{9}{10}
\]
Le résultat est donc \(\frac{9}{10}\).
Etape 1 : Écrire 7 sous forme de fraction
\[
7 = \frac{7}{1}
\] Donc, \[
\frac{14}{15} \div 7 = \frac{14}{15} \div \frac{7}{1}
\]
Etape 2 : Transformer la division en multiplication
par l’inverse
\[
\frac{14}{15} \div \frac{7}{1} = \frac{14}{15} \times \frac{1}{7}
\]
Etape 3 : Effectuer la multiplication
\[
\frac{14 \times 1}{15 \times 7} = \frac{14}{105}
\]
Etape 4 : Simplifier
On remarque que \(14\) et \(105\) sont divisibles par \(7\) : \[
\frac{14 \div 7}{105 \div 7} = \frac{2}{15}
\]
Le résultat est \(\frac{2}{15}\).
Etape 1 : Écrire 7 sous forme de fraction
\[
7 = \frac{7}{1}
\] Donc, \[
7 \div \frac{15}{14} = \frac{7}{1} \div \frac{15}{14}
\]
Etape 2 : Multiplier par l’inverse
\[
\frac{7}{1} \times \frac{14}{15} = \frac{7 \times 14}{15} =
\frac{98}{15}
\]
Le résultat \(\frac{98}{15}\) est déjà sous forme irréductible.
Etape 1 : Appliquer la règle de multiplication par
l’inverse
\[
\frac{9}{13} \div \frac{1}{3} = \frac{9}{13} \times \frac{3}{1}
\]
Etape 2 : Effectuer la multiplication
\[
\frac{9 \times 3}{13 \times 1} = \frac{27}{13}
\]
Le résultat est \(\frac{27}{13}\).
Etape 1 : Transformer la division en multiplication
par l’inverse
\[
\frac{27}{14} \div \frac{3}{7} = \frac{27}{14} \times \frac{7}{3}
\]
Etape 2 : Multiplication
\[
\frac{27 \times 7}{14 \times 3} = \frac{189}{42}
\]
Etape 3 : Simplifier
Divisons numérateur et dénominateur par \(3\) :
\[
\frac{189 \div 3}{42 \div 3} = \frac{63}{14}
\] Puis, divisons par \(7\)
:
\[
\frac{63 \div 7}{14 \div 7} = \frac{9}{2}
\]
Le résultat est \(\frac{9}{2}\).
Chaque résultat est sous forme d’une fraction irréductible.