Exercice 140

Calculer les produits suivants et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :

  1. \(\frac{15}{19} \times \frac{119}{51} \times \frac{57}{105}\)

  2. \(\frac{4}{15} \times 6 \times \frac{10}{16}\)

  3. \(\frac{7}{10} \times \frac{9}{77} \times \frac{4}{15} \times \frac{25}{28}\)

  4. \(\frac{16}{27} \times \frac{125}{100} \times \frac{45}{2}\)

  5. \(100 \times \frac{5}{49} \times \frac{2}{10} \times \frac{7}{100}\)

  6. \(\frac{35}{18} \times \frac{52}{102} \times \frac{18}{105} \times \frac{34}{65}\)

Réponse

  1. 1
  2. 1
  3. 3/154
  4. 50/3
  5. 1/7
  6. 4/45

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacun des calculs demandés.

Exercice 1

Énoncé :
Calculer
\[ \frac{15}{19} \times \frac{119}{51} \times \frac{57}{105} \]

Étapes de résolution :

  1. Écrivons chaque nombre sous sa forme factorisée :

    • \(15 = 3 \times 5\)
    • \(119 = 7 \times 17\)
    • \(57 = 3 \times 19\)
    • \(51 = 3 \times 17\)
    • \(105 = 3 \times 5 \times 7\)
    • \(19\) reste tel quel.

  2. En réécrivant le produit, on a : \[ \frac{15}{19} \times \frac{119}{51} \times \frac{57}{105} = \frac{(3 \times 5) \times (7 \times 17) \times (3 \times 19)}{19 \times (3 \times 17) \times (3 \times 5 \times 7)} \]

  3. Regroupons les facteurs :

    • Numérateur : \(3 \times 5 \times 7 \times 17 \times 3 \times 19 = 3^2 \times 5 \times 7 \times 17 \times 19\)
    • Dénominateur : \(19 \times 3 \times 17 \times 3 \times 5 \times 7 = 19 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 17\)

  4. Chaque facteur du numérateur se retrouve dans le dénominateur, donc : \[ \frac{3^2 \times 5 \times 7 \times 17 \times 19}{19 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 17} = 1. \]

Réponse du 1) :
\[ 1 \]

Exercice 2

Énoncé :
Calculer
\[ \frac{4}{15} \times 6 \times \frac{10}{16} \]

Étapes de résolution :

  1. On écrit 6 sous forme de fraction : \(6 = \frac{6}{1}\).
    Le produit devient : \[ \frac{4}{15} \times \frac{6}{1} \times \frac{10}{16}. \]

  2. Multiplions les numérateurs et les dénominateurs : \[ \text{Numérateur} : 4 \times 6 \times 10 = 240, \quad \text{Dénominateur} : 15 \times 1 \times 16 = 240. \]

  3. La fraction obtenue est : \[ \frac{240}{240} = 1. \]

Réponse du 2) :
\[ 1 \]

Exercice 3

Énoncé :
Calculer
\[ \frac{7}{10} \times \frac{9}{77} \times \frac{4}{15} \times \frac{25}{28} \]

Étapes de résolution :

  1. Factorisons chaque nombre :

    • \(7\) reste tel quel.
    • \(10 = 2 \times 5\).
    • \(9 = 3^2\).
    • \(77 = 7 \times 11\).
    • \(4 = 2^2\).
    • \(15 = 3 \times 5\).
    • \(25 = 5^2\).
    • \(28 = 2^2 \times 7\).

  2. Réécrivons le produit en factorisant : \[ \frac{7}{2\times 5} \times \frac{3^2}{7\times 11} \times \frac{2^2}{3\times 5} \times \frac{5^2}{2^2 \times 7} \]

  3. Regroupons les facteurs :

    • Numérateur : \(7 \times 3^2 \times 2^2 \times 5^2\).
    • Dénominateur : \((2\times 5) \times (7\times 11) \times (3\times 5) \times (2^2\times 7)\).

  4. Écrivons les puissances dans le numérateur et dénominateur :

    • Numérateur : \(2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7\).
    • Dénominateur : \(2^{1+2} \times 3^1 \times 5^{1+1} \times 7^{1+1} \times 11 = 2^3 \times 3 \times 5^2 \times 7^2 \times 11\).

  5. Simplifions en annulant les facteurs communs :

    • \(5^2\) se simplifie.
    • Un facteur \(7\) du numérateur simplifie avec un des \(7\) du dénominateur, il reste un \(7\) en dénominateur.
    • Le \(3^2\) du numérateur et le \(3\) du dénominateur laissent un \(3\) en numérateur.
    • \(2^2\) du numérateur et \(2^3\) du dénominateur laissent \(2\) en dénominateur.

    On obtient ainsi : \[ \frac{3}{2 \times 7 \times 11} = \frac{3}{154}. \]

Réponse du 3) :
\[ \frac{3}{154} \]

Exercice 4

Énoncé :
Calculer
\[ \frac{16}{27} \times \frac{125}{100} \times \frac{45}{2} \]

Étapes de résolution :

  1. Simplifions \(\frac{125}{100}\) :
    Divisons le numérateur et le dénominateur par 25 : \[ \frac{125}{100} = \frac{5}{4}. \]

  2. Le produit devient : \[ \frac{16}{27} \times \frac{5}{4} \times \frac{45}{2}. \]

  3. Multiplions numérateurs et dénominateurs : \[ \text{Numérateur} : 16 \times 5 \times 45 = 16 \times 225 = 3600, \quad \text{Dénominateur} : 27 \times 4 \times 2 = 216. \]

  4. On a donc : \[ \frac{3600}{216}. \] Simplifions cette fraction :
    Divisons le numérateur et le dénominateur par 12 : \[ \frac{3600 \div 12}{216 \div 12} = \frac{300}{18}. \] Divisons ensuite par 6 : \[ \frac{300 \div 6}{18 \div 6} = \frac{50}{3}. \]

Réponse du 4) :
\[ \frac{50}{3} \]

Exercice 5

Énoncé :
Calculer
\[ 100 \times \frac{5}{49} \times \frac{2}{10} \times \frac{7}{100} \]

Étapes de résolution :

  1. Remarquons que \(100\) et \(\frac{7}{100}\) se simplifient facilement : \[ 100 \times \frac{7}{100} = 7. \] Le produit devient : \[ 7 \times \frac{5}{49} \times \frac{2}{10}. \]

  2. Simplifions \(\frac{2}{10}\) en divisant numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{2}{10} = \frac{1}{5}. \]

  3. Le produit se réduit alors à : \[ 7 \times \frac{5}{49} \times \frac{1}{5}. \] On peut remarquer que le \(5\) du numérateur et le \(5\) du dénominateur se simplifient : \[ \frac{5}{5} = 1, \] donc il reste : \[ 7 \times \frac{1}{49} = \frac{7}{49}. \]

  4. Simplifions \(\frac{7}{49}\) en divisant par 7 : \[ \frac{7 \div 7}{49 \div 7} = \frac{1}{7}. \]

Réponse du 5) :
\[ \frac{1}{7} \]

Exercice 6

Énoncé :
Calculer
\[ \frac{35}{18} \times \frac{52}{102} \times \frac{18}{105} \times \frac{34}{65} \]

Étapes de résolution :

  1. Factorisons chacun des nombres :

    • \(35 = 5 \times 7\)
    • \(18 = 2 \times 3^2\)
    • \(52 = 2^2 \times 13\)
    • \(102 = 2 \times 3 \times 17\)
    • \(105 = 3 \times 5 \times 7\)
    • \(34 = 2 \times 17\)
    • \(65 = 5 \times 13\)

  2. Réécrivons chaque fraction factorisée : \[ \frac{35}{18} = \frac{5 \times 7}{2 \times 3^2}, \quad \frac{52}{102} = \frac{2^2 \times 13}{2 \times 3 \times 17}, \] \[ \frac{18}{105} = \frac{2 \times 3^2}{3 \times 5 \times 7}, \quad \frac{34}{65} = \frac{2 \times 17}{5 \times 13}. \]

  3. Écrivons le produit complet : \[ \frac{5 \times 7}{2 \times 3^2} \times \frac{2^2 \times 13}{2 \times 3 \times 17} \times \frac{2 \times 3^2}{3 \times 5 \times 7} \times \frac{2 \times 17}{5 \times 13}. \]

  4. Regroupons les facteurs dans le numérateur et le dénominateur :

    • Numérateur :
      \(5 \times 7 \times 2^2 \times 13 \times 2 \times 3^2 \times 2 \times 17\)
      Regroupons les facteurs similaires :
      \[ =2^{(2+1+1)} \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 13 \times 17 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 13 \times 17. \]

    • Dénominateur :
      \(2 \times 3^2 \times 2 \times 3 \times 17 \times 3 \times 5 \times 7 \times 5 \times 13\)
      Comptons les facteurs :

      • Pour 2 : \(2 \times 2 = 2^2\).
      • Pour 3 : \(3^2 \times 3 \times 3 = 3^{2+1+1} = 3^4\).
      • Pour 5 : \(5 \times 5 = 5^2\).
      • Pour 7 : \(7\).
      • Pour 13 : \(13\).
      • Pour 17 : \(17\).

      Ainsi, \[ =2^2 \times 3^4 \times 5^2 \times 7 \times 13 \times 17. \]

  5. Annulons les facteurs communs entre numérateur et dénominateur :

    • Le facteur \(2^4\) au numérateur et \(2^2\) au dénominateur laissent \(2^{4-2} = 2^2\) au numérateur.
    • Le \(3^2\) du numérateur se simplifie avec \(3^2\) du dénominateur, restant \(3^{4-2} = 3^2\) au dénominateur.
    • Le \(5\) du numérateur avec un des \(5\) du dénominateur laisse un \(5\) au dénominateur.
    • Les facteurs \(7\), \(13\) et \(17\) s’annulent entièrement.

    On obtient alors : \[ \frac{2^2}{3^2 \times 5} = \frac{4}{9 \times 5} = \frac{4}{45}. \]

Réponse du 6) :
\[ \frac{4}{45} \]

Récapitulatif des réponses
  1. \(\displaystyle 1\)
  2. \(\displaystyle 1\)
  3. \(\displaystyle \frac{3}{154}\)
  4. \(\displaystyle \frac{50}{3}\)
  5. \(\displaystyle \frac{1}{7}\)
  6. \(\displaystyle \frac{4}{45}\)
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