Calculer les produits suivants et exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible :
Exercice 1 : 5/18
Exercice 2 : 4/7
Exercice 3 : 1
Exercice 4 : 18/7
Exercice 5 : 9
Exercice 6 : 1
Exercice 7 : 5/2
Exercice 8 : 4/15
Voici la correction complète et détaillée de chaque produit :
Énoncé :
Calculer
\[
\frac{35}{18} \times \frac{15}{105}
\]
Correction :
Simplification de la deuxième fraction :
On remarque que \(15\) et \(105\) ont un commun diviseur. En
effet,
\[
\frac{15}{105} = \frac{15 \div 15}{105 \div 15} = \frac{1}{7}.
\]
Multiplication :
On remplace dans le produit :
\[
\frac{35}{18} \times \frac{1}{7} = \frac{35 \times 1}{18 \times 7} =
\frac{35}{126}.
\]
Simplification de la fraction obtenue :
On peut remarquer que \(35\) et \(126\) sont divisibles par \(7\) :
\[
35 = 7 \times 5 \quad \text{et} \quad 126 = 7 \times 18.
\] Ainsi,
\[
\frac{35}{126} = \frac{7 \times 5}{7 \times 18} = \frac{5}{18}.
\]
Résultat final :
\[
\frac{5}{18}
\]
Énoncé :
Calculer
\[
\frac{121}{99} \times \frac{36}{77}
\]
Correction :
Écrire le produit en utilisant ces décompositions
:
\[
\frac{121}{99} \times \frac{36}{77} = \frac{11^2 \times 2^2 \times
3^2}{3^2 \times 11 \times 7 \times 11}.
\]
Annulation des facteurs communs :
On annule \(11^2\) dans le numérateur
avec \(11 \times 11\) dans le
dénominateur et \(3^2\) se simplifie
:
\[
\frac{11^2 \times 2^2 \times 3^2}{3^2 \times 11^2 \times 7} =
\frac{2^2}{7} = \frac{4}{7}.
\]
Résultat final :
\[
\frac{4}{7}
\]
Énoncé :
Calculer
\[
\frac{5}{7} \times \frac{7}{5}
\]
Correction :
Multiplication directe :
\[
\frac{5}{7} \times \frac{7}{5} = \frac{5 \times 7}{7 \times 5} =
\frac{35}{35}.
\]
Simplification :
\[
\frac{35}{35} = 1.
\]
Résultat final :
\[
1
\]
Énoncé :
Calculer
\[
\frac{60}{49} \times \frac{126}{60}
\]
Correction :
Multiplication directe et annulation :
On écrit
\[
\frac{60}{49} \times \frac{126}{60} = \frac{60 \times 126}{49 \times
60}.
\] Les \(60\) se simplifient
:
\[
= \frac{126}{49}.
\]
Simplification de la fraction :
On remarque que \(126\) et \(49\) sont divisibles par \(7\) :
\[
126 = 7 \times 18 \quad \text{et} \quad 49 = 7 \times 7.
\] Ainsi,
\[
\frac{126}{49} = \frac{7 \times 18}{7 \times 7} = \frac{18}{7}.
\]
Résultat final :
\[
\frac{18}{7}
\]
Énoncé :
Calculer
\[
\frac{3}{7} \times 21
\]
Correction :
Conversion de l’entier en fraction :
On écrit \(21\) sous forme de fraction
:
\[
21 = \frac{21}{1}.
\]
Multiplication :
\[
\frac{3}{7} \times \frac{21}{1} = \frac{3 \times 21}{7 \times 1} =
\frac{63}{7}.
\]
Simplification :
\[
\frac{63}{7} = 9.
\]
Résultat final :
\[
9 \quad \text{(ou sous forme fractionnaire } \frac{9}{1} \text{)}
\]
Énoncé :
Calculer
\[
\frac{115}{145} \times \frac{87}{69}
\]
Correction :
Simplification de la première fraction :
On regarde \(115\) et \(145\). On peut diviser par \(5\) :
\[
115 \div 5 = 23 \quad \text{et} \quad 145 \div 5 = 29.
\] Donc,
\[
\frac{115}{145} = \frac{23}{29}.
\]
Simplification de la deuxième fraction :
Pour \(87\) et \(69\), on divise par \(3\) :
\[
87 \div 3 = 29 \quad \text{et} \quad 69 \div 3 = 23.
\] Donc,
\[
\frac{87}{69} = \frac{29}{23}.
\]
Multiplication des fractions :
\[
\frac{23}{29} \times \frac{29}{23} = \frac{23 \times 29}{29 \times 23} =
1.
\]
Résultat final :
\[
1
\]
Énoncé :
Calculer
\[
35 \times \frac{4}{56}
\]
Correction :
Multiplication :
On écrit le produit sous forme de fraction :
\[
35 \times \frac{4}{56} = \frac{35 \times 4}{56} = \frac{140}{56}.
\]
Simplification :
On peut simplifier en divisant le numérateur et le dénominateur par
\(14\) :
\[
140 \div 14 = 10 \quad \text{et} \quad 56 \div 14 = 4.
\] Ainsi,
\[
\frac{140}{56} = \frac{10}{4}.
\]
Réduction complète :
Divisons ensuite par \(2\) :
\[
\frac{10 \div 2}{4 \div 2} = \frac{5}{2}.
\]
Résultat final :
\[
\frac{5}{2}
\]
Énoncé :
Calculer
\[
\frac{52}{102} \times \frac{34}{65}
\]
Correction :
Simplification de la première fraction :
Les deux nombres sont pairs, on divise par \(2\) :
\[
\frac{52}{102} = \frac{52 \div 2}{102 \div 2} = \frac{26}{51}.
\]
Décomposition en produits premiers :
Pour \(26\) et \(51\) :
\[
26=2\times 13,\quad 51=3\times 17.
\]
Pour la deuxième fraction,
\[
34=2\times 17,\quad 65=5\times 13.
\]
Écriture en produit de facteurs :
\[
\frac{26}{51} \times \frac{34}{65} = \frac{2 \times 13}{3 \times 17}
\times \frac{2 \times 17}{5 \times 13}.
\]
Annulation des facteurs communs :
On annule \(13\) et \(17\) :
\[
= \frac{2 \times 2}{3 \times 5} = \frac{4}{15}.
\]
Résultat final :
\[
\frac{4}{15}
\]
Chaque étape a permis de simplifier et de réduire les fractions de manière claire. En suivant ces démarches, vous obtenez toujours le résultat sous forme de fraction irréductible.