Exercice 138

Calculer les produits suivants et exprimer chaque résultat sous forme de fraction irréductible :

1. \(\frac{5}{6} \cdot \frac{18}{21}\)
   
2. \(\frac{1}{9} \cdot 3\)
   
3. \(\frac{4}{3} \cdot 6\)
   
4. \(\frac{15}{19} \cdot 19\)
   
5. \(\frac{56}{54} \cdot \frac{81}{72}\)
   
6. \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}\)
   
7. \(\frac{1}{7} \cdot 0\)
   
8. \(\frac{4}{9} \cdot 1\)

Réponse

1. 5/7
   
2. 1/3
   
3. 8
   
4. 15
   
5. 7/6
   
6. 1/12
   
7. 0
   
8. 4/9

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque produit avec une explication pas à pas :

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1) Calcul de \(\frac{5}{6} \cdot \frac{18}{21}\)

1. On commence par multiplier les numérateurs et les dénominateurs séparément :
   \[ \frac{5}{6} \cdot \frac{18}{21} = \frac{5 \times 18}{6 \times 21} = \frac{90}{126}. \]
2. Cherchons maintenant le plus grand commun diviseur (PGCD) de 90 et 126.
   On remarque que \(18\) divise les deux nombres car :
   • \(90 \div 18 = 5\)
     
   • \(126 \div 18 = 7\).
3. La fraction se simplifie donc en :
   \[ \frac{90}{126} = \frac{5}{7}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{5}{7}\)

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2) Calcul de \(\frac{1}{9} \cdot 3\)

1. On écrit \(3\) sous forme de fraction : \(3 = \frac{3}{1}\).
   
2. On calcule le produit :
   \[ \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1 \times 3}{9 \times 1} = \frac{3}{9}. \]
3. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 :
   \[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{1}{3}\)

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3) Calcul de \(\frac{4}{3} \cdot 6\)

1. On écrit \(6\) sous forme de fraction : \(6 = \frac{6}{1}\).
   
2. On effectue le produit :
   \[ \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{4 \times 6}{3 \times 1} = \frac{24}{3}. \]
3. La division donne :
   \[ \frac{24}{3} = 8. \] On peut aussi écrire \(8\) sous forme de fraction \(\frac{8}{1}\) si nécessaire.

Réponse : \(8\)

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4) Calcul de \(\frac{15}{19} \cdot 19\)

1. On écrit \(19\) sous forme de fraction : \(19 = \frac{19}{1}\).
   
2. On calcule le produit :
   \[ \frac{15}{19} \cdot \frac{19}{1} = \frac{15 \times 19}{19 \times 1}. \]
3. On remarque que le facteur \(19\) se trouve au numérateur et au dénominateur, on peut donc l’annuler :
   \[ \frac{15 \times \cancel{19}}{\cancel{19}} = 15. \]

Réponse : \(15\)

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5) Calcul de \(\frac{56}{54} \cdot \frac{81}{72}\)

1. Il est souvent plus simple de simplifier chaque fraction avant de multiplier.

   • Pour \(\frac{56}{54}\) :
     Les deux nombres sont divisibles par 2 :
     \[ \frac{56}{54} = \frac{56 \div 2}{54 \div 2} = \frac{28}{27}. \]

   • Pour \(\frac{81}{72}\) :
     On divise numérateur et dénominateur par 9 :
     \[ \frac{81}{72} = \frac{81 \div 9}{72 \div 9} = \frac{9}{8}. \]

2. On multiplie ensuite les fractions simplifiées :
   \[ \frac{28}{27} \cdot \frac{9}{8}. \]

3. On peut simplifier en remarquant que 28 et 8 ont un facteur commun :

   • Divisons 28 et 8 par 4 :
     \[ \frac{28}{8} = \frac{7}{2}. \] Ainsi, la multiplication devient :
     \[ \frac{7}{27} \cdot \frac{9}{2}. \]

4. On simplifie ensuite \(9\) et \(27\) :
   \[ \frac{9}{27} = \frac{1}{3}. \] Donc, on a :
   \[ \frac{7}{1} \cdot \frac{1}{3 \times 2} = \frac{7}{6}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{7}{6}\)

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6) Calcul de \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}\)

1. On multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
   \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{4 \times 3} = \frac{1}{12}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{1}{12}\)

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7) Calcul de \(\frac{1}{7} \cdot 0\)

1. Le produit de n’importe quel nombre avec \(0\) est \(0\). Ainsi :
   \[ \frac{1}{7} \cdot 0 = 0. \]

Réponse : \(0\)

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8) Calcul de \(\frac{4}{9} \cdot 1\)

1. Multiplier par \(1\) ne change pas la valeur d’un nombre. On a donc :
   \[ \frac{4}{9} \cdot 1 = \frac{4}{9}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{4}{9}\)

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Chaque résultat a été exprimé sous forme de fraction irréductible ou sous forme numérique quand c’était possible.