Exercice 137

Calculer ces produits et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

1. \(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}\)
   
2. \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\)
   
3. \(\frac{12}{15} \cdot \frac{75}{36}\)
   
4. \(\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{21}\)
   
5. \(\frac{4}{21} \cdot \frac{28}{5}\)
   
6. \(\frac{57}{48} \cdot \frac{16}{95}\)

Réponse

Voici le résumé des réponses :

1. 8/15
   
2. 1
   
3. 5/3
   
4. 3/7
   
5. 16/15
   
6. 1/5

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacun des produits donnés, sous forme d’une fraction irréductible.

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1) Calculer \(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}\)

Étapes :

1. Multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}. \]
2. La fraction \(\frac{8}{15}\) est déjà irréductible car le plus grand commun diviseur de 8 et 15 est 1.

Résultat :
\[ \boxed{\frac{8}{15}} \]

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2) Calculer \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\)

Étapes :

1. Effectuons la multiplication : \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \times 3}{3 \times 2} = \frac{6}{6}. \]
2. Simplifions la fraction : \[ \frac{6}{6} = 1. \]

Résultat :
\[ \boxed{1} \]

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3) Calculer \(\frac{12}{15} \cdot \frac{75}{36}\)

Étapes :

1. On peut simplifier chaque fraction avant de multiplier.
   Pour \(\frac{12}{15}\), on divise le numérateur et le dénominateur par 3 : \[ \frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}. \] Pour \(\frac{75}{36}\), on divise par 3 : \[ \frac{75}{36} = \frac{75 \div 3}{36 \div 3} = \frac{25}{12}. \]

2. Multiplication des deux fractions simplifiées : \[ \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{12} = \frac{4 \times 25}{5 \times 12} = \frac{100}{60}. \]

3. Simplifions \(\frac{100}{60}\) en divisant numérateur et dénominateur par 20 : \[ \frac{100 \div 20}{60 \div 20} = \frac{5}{3}. \]

Résultat :
\[ \boxed{\frac{5}{3}} \]

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4) Calculer \(\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{21}\)

Étapes :

1. Commencez par écrire le produit : \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{21} = \frac{3 \times 12}{4 \times 21}. \]
2. Simplifions le numérateur et le dénominateur. On peut remarquer que \(12\) et \(4\) se simplifient : \[ \frac{12}{4} = 3, \quad \text{donc,} \quad \frac{3 \times 12}{4 \times 21} = \frac{3 \times 3}{21} = \frac{9}{21}. \]
3. Ensuite, simplifions \(\frac{9}{21}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 : \[ \frac{9 \div 3}{21 \div 3} = \frac{3}{7}. \]

Résultat :
\[ \boxed{\frac{3}{7}} \]

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5) Calculer \(\frac{4}{21} \cdot \frac{28}{5}\)

Étapes :

1. Écrivons le produit : \[ \frac{4}{21} \cdot \frac{28}{5} = \frac{4 \times 28}{21 \times 5}. \]
2. Simplifions en remarquant que \(28\) et \(21\) ont un facteur commun :
   \(28 = 7 \times 4\) et \(21 = 7 \times 3\). Ainsi, \[ \frac{4 \times 28}{21 \times 5} = \frac{4 \times (7 \times 4)}{(7 \times 3) \times 5}. \] On annule le facteur 7 : \[ = \frac{4 \times 4}{3 \times 5} = \frac{16}{15}. \]

Résultat :
\[ \boxed{\frac{16}{15}} \]

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6) Calculer \(\frac{57}{48} \cdot \frac{16}{95}\)

Étapes :

1. Réécrivons le produit : \[ \frac{57}{48} \cdot \frac{16}{95} = \frac{57 \times 16}{48 \times 95}. \]
2. Observons que 48 se décompose en \(16 \times 3\). Ainsi, on peut simplifier avec le 16 : \[ \frac{57 \times 16}{(16 \times 3) \times 95} = \frac{57}{3 \times 95}. \]
3. Simplifions ensuite \(\frac{57}{3 \times 95}\). Remarquons que 57 se décompose en \(3 \times 19\) : \[ \frac{3 \times 19}{3 \times 95}. \] Le 3 se simplifie : \[ = \frac{19}{95}. \]
4. Enfin, \(19\) et \(95\) se simplifient car \(95 = 19 \times 5\) : \[ \frac{19}{95} = \frac{19 \div 19}{95 \div 19} = \frac{1}{5}. \]

Résultat :
\[ \boxed{\frac{1}{5}} \]

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Récapitulatif des réponses :

1. \(\displaystyle \frac{8}{15}\)
   
2. \(1\)
   
3. \(\displaystyle \frac{5}{3}\)
   
4. \(\displaystyle \frac{3}{7}\)
   
5. \(\displaystyle \frac{16}{15}\)
   
6. \(\displaystyle \frac{1}{5}\)

Chaque produit a été simplifié étape par étape pour donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.