Recopiez et complétez les tableaux suivants :
| . | \(\frac{2}{3}\) | \(\frac{4}{5}\) |
|---|---|---|
| \(\frac{2}{5}\) | ||
| \(\frac{3}{4}\) |
| . | \(\frac{1}{3}\) | |
|---|---|---|
| 7 | 4 | |
| \(\frac{4}{5}\) |
| \(\cdot\) | \(\frac{4}{5}\) | |
|---|---|---|
| \(\frac{2}{3}\) | 1 | |
| 2 |
Voici la réponse résumée :
Tableau 1 (en-têtes : lignes 2/5 et 3/4, colonnes 2/3 et 4/5) :
• 2/5 × 2/3 = 4/15 2/5 × 4/5 = 8/25
• 3/4 × 2/3 = 1/2 3/4 × 4/5 = 3/5
Tableau 2 (en-têtes : colonnes 4/7 et 1/3; lignes 7 et 12/5) :
• 7 × 4/7 = 4 7 × 1/3 = 7/3
• (12/5) × 4/7 = 48/35 (12/5) × 1/3 = 4/5
Tableau 3 (en-têtes : colonnes 4/5 et 3/2; lignes 2/3 et 4/3) :
• (2/3)×(4/5) = 8/15 (2/3)×(3/2) = 1
• (4/3)×(4/5) = 16/15 (4/3)×(3/2) = 2
Nous allons compléter chacun des tableaux en considérant qu’il s’agit de tableaux de multiplication : la case située à l’intersection d’une ligne (avec son en-tête) et d’une colonne (avec son en‐tête) contient le produit du nombre de la ligne et du nombre de la colonne. Nous allons procéder table par table.
Le tableau initial est :
| . | \(\frac{2}{3}\) | \(\frac{4}{5}\) |
|---|---|---|
| \(\frac{2}{5}\) | ||
| \(\frac{3}{4}\) |
Étape 1. Identifier les en-têtes
- En-têtes de colonnes : \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{4}{5}\)
- En-têtes de lignes : \(\frac{2}{5}\)
et \(\frac{3}{4}\)
Étape 2. Compléter chaque case en multipliant l’en‐tête de la ligne par l’en‐tête de la colonne.
Tableau 1 complété :
| . | \(\frac{2}{3}\) | \(\frac{4}{5}\) |
|---|---|---|
| \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{4}{15}\) | \(\frac{8}{25}\) |
| \(\frac{3}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{3}{5}\) |
Le tableau initial est :
| . | \(\frac{1}{3}\) | |
|---|---|---|
| 7 | 4 | |
| \(\frac{4}{5}\) |
Ici, la convention est la même : le coin en haut à gauche est simplement un indicateur et on place en tête de colonnes les nombres (à partir de la deuxième cellule de la première ligne) et en tête de lignes les nombres (à partir de la première cellule de chaque ligne).
Étape 1. Identifier ce que nous connaissons et ce
que nous cherchons
- En-tête de la première colonne (colonne 1) : 7 (première ligne)
- En-tête de la deuxième colonne (colonne 2) : inconnu, que nous
noterons \(b\)
- En-tête de la troisième colonne (colonne 3) : \(\frac{1}{3}\)
Remarque sur la structure :
Le tableau se lit ainsi :
- La première ligne (après la rangée d’en-têtes) correspond à la ligne
dont l’en-tête est 7.
- La deuxième ligne correspond à la ligne dont l’en-tête sera \(a\).
Les cases intérieures seront le produit de l’en-tête de la ligne par l’en-tête de la colonne.
Étape 2. Utiliser les cases connues pour déterminer les inconnues.
Dans la première ligne, deuxième colonne :
Le produit est donné : \(7\times b =
4\).
Pour trouver \(b\), on résout :
\[
b = \frac{4}{7}\,.
\]
Dans la première ligne, troisième colonne :
Le produit sera \(7\times \frac{1}{3} =
\frac{7}{3}\).
Cette case se complète donc par \(\frac{7}{3}\).
Dans la deuxième ligne, troisième colonne :
Le produit est donné : \(a \times \frac{1}{3}
= \frac{4}{5}\).
On trouve \(a\) en multipliant par 3 :
\[
a = \frac{4}{5}\times 3 = \frac{12}{5}\,.
\]
Dans la deuxième ligne, deuxième colonne :
Le produit doit être \(a\times b =
\frac{12}{5}\times \frac{4}{7}\).
Calculons : \[
a\,b = \frac{12\times4}{5\times7} = \frac{48}{35}\,.
\]
Tableau 2 complété :
On place dans le coin supérieur gauche le symbole « . » initial, puis on place les en-têtes et les produits obtenus.
| . | \(\displaystyle \frac{4}{7}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) |
|---|---|---|
| 7 | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle \frac{7}{3}\) |
| \(\displaystyle \frac{12}{5}\) | \(\displaystyle \frac{48}{35}\) | \(\displaystyle \frac{4}{5}\) |
Le tableau initial est :
| \(\cdot\) | \(\frac{4}{5}\) | |
|---|---|---|
| \(\frac{2}{3}\) | 1 | |
| 2 |
Ici encore, la première ligne sert d’en-têtes pour les colonnes (à partir de la deuxième cellule) et la première colonne sert d’en-têtes pour les lignes (à partir de la deuxième rangée).
Étape 1. Identifier les en-têtes
- En-têtes des colonnes :
• Colonne 1 : \(\frac{4}{5}\) (la
première cellule de la ligne d’en-têtes)
• Colonne 2 : Inconnue, que nous noterons \(c\)
- En-têtes des lignes :
• Ligne 1 : \(\frac{2}{3}\) (première
cellule de la première ligne de données)
• Ligne 2 : Inconnue, que nous noterons \(d\)
Étape 2. Compléter les cases intérieures par le produit de l’en-tête de la ligne et l’en-tête de la colonne.
Notons la structure du tableau complété :
Les données données dans le tableau initial sont :
- La case (ligne 1, colonne 2) vaut 1.
- La case (ligne 2, colonne 1) n’est pas indiquée (elle sera
calculée).
- La case (ligne 2, colonne 2) vaut 2.
Procédons par étapes :
Tout d’abord, pour la case (ligne 1, colonne 1) :
\[
\frac{2}{3}\times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\,.
\]
Pour la case (ligne 1, colonne 2) :
On a l’équation : \[
\frac{2}{3}\times c = 1\,.
\] Pour trouver \(c\), on résout
: \[
c = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\,.
\]
Pour la case (ligne 2, colonne 2) :
On a : \[
d\times c = 2\,.
\] Avec \(c=\frac{3}{2}\), on
trouve : \[
d = \frac{2}{\frac{3}{2}} = 2\times\frac{2}{3} = \frac{4}{3}\,.
\]
Enfin, pour la case (ligne 2, colonne 1) :
Elle vaut \(d\times\frac{4}{5}\). Avec
\(d=\frac{4}{3}\), nous avons : \[
d\times\frac{4}{5} = \frac{4}{3}\times\frac{4}{5} = \frac{16}{15}\,.
\]
Tableau 3 complété :
Nous plaçons dans le coin supérieur gauche le symbole « \(\cdot\) », puis les en-têtes et les produits obtenus :
| \(\cdot\) | \(\displaystyle \frac{4}{5}\) | \(\displaystyle \frac{3}{2}\) |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | \(\displaystyle \frac{8}{15}\) | \(1\) |
| \(\displaystyle \frac{4}{3}\) | \(\displaystyle \frac{16}{15}\) | \(2\) |
Nous avons donc complété les trois tableaux de multiplication :
Tableau 1 :
| . | \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | \(\displaystyle \frac{4}{5}\) |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \frac{2}{5}\) | \(\displaystyle \frac{4}{15}\) | \(\displaystyle \frac{8}{25}\) |
| \(\displaystyle \frac{3}{4}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{3}{5}\) |
Tableau 2 :
| . | \(\displaystyle \frac{4}{7}\) | \(\displaystyle \frac{1}{3}\) |
|---|---|---|
| \(7\) | \(4\) | \(\displaystyle \frac{7}{3}\) |
| \(\displaystyle \frac{12}{5}\) | \(\displaystyle \frac{48}{35}\) | \(\displaystyle \frac{4}{5}\) |
Tableau 3 :
| \(\cdot\) | \(\displaystyle \frac{4}{5}\) | \(\displaystyle \frac{3}{2}\) |
|---|---|---|
| \(\displaystyle \frac{2}{3}\) | \(\displaystyle \frac{8}{15}\) | \(1\) |
| \(\displaystyle \frac{4}{3}\) | \(\displaystyle \frac{16}{15}\) | \(2\) |
Chaque tableau a été rempli en multipliant l’en‐tête de la ligne par l’en‐tête de la colonne.