Copiez et complétez les tableaux suivants :
| \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{5}{2}\) | |
|---|---|---|
| \(\frac{5}{6}\) | ||
| \(\frac{3}{5}\) |
| \(\cdot\) | ||
|---|---|---|
| \(\frac{5}{2}\) | 1 | 3 |
| \(\frac{2}{15}\) |
| \(\frac{1}{6}\) | ||
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{2}{3}\) | |
| \(\frac{1}{8}\) |
Réponses très synthétiques :
Tableau 1
• (5/6)×(1/3) = 5/18 (5/6)×(5/2) = 25/12
• (3/5)×(1/3) = 1/5 (3/5)×(5/2) = 3/2
Tableau 2
• On trouve les en‐têtes de colonnes : a = 2/5 et b = 6/5
• La deuxième ligne (r) est r = 1/3
• Vérification : (5/2)×(2/5) = 1, (5/2)×(6/5) = 3, (1/3)×(2/5) = 2/15,
(1/3)×(6/5) = 2/5
Tableau 3
• On déduit l’en‐tête A = 4/3 et la deuxième ligne B = 3/4
• Ainsi : (1/2)×(4/3) = 2/3, (1/2)×(1/6) = 1/12, (3/4)×(4/3) = 1,
(3/4)×(1/6) = 1/8
Voici la correction détaillée de chaque tableau, en expliquant pas à pas la démarche pour trouver les valeurs manquantes.
Le tableau de multiplication est donné par :
| \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{5}{2}\) | |
|---|---|---|
| \(\dfrac{5}{6}\) | ||
| \(\dfrac{3}{5}\) |
Démarche :
Chaque case du tableau correspond au produit de la valeur en début de ligne par celle en haut de colonne.
Première ligne, première colonne :
\[ \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{5 \times 1}{6 \times 3} = \dfrac{5}{18} \]
Première ligne, deuxième colonne :
\[ \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5 \times 5}{6 \times 2} = \dfrac{25}{12} \]
Deuxième ligne, première colonne :
\[ \dfrac{3}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 \times 1}{5 \times 3} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5} \]
Deuxième ligne, deuxième colonne :
\[ \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{3 \times 5}{5 \times 2} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} \]
Tableau complété :
| \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{5}{2}\) | |
|---|---|---|
| \(\dfrac{5}{6}\) | \(\dfrac{5}{18}\) | \(\dfrac{25}{12}\) |
| \(\dfrac{3}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{3}{2}\) |
Le tableau est présenté sous la forme :
| \(\cdot\) | ||
|---|---|---|
| \(\dfrac{5}{2}\) | 1 | 3 |
| \(\dfrac{2}{15}\) |
Interprétation :
Il s’agit d’un tableau de multiplication dont l’en-tête de ligne et
de colonne sont à déterminer.
Soit : - Les colonnes possèdent comme en-têtes des nombres \(a\) et \(b\). - Les lignes possèdent comme en-têtes
\(\dfrac{5}{2}\) (déjà donné) et \(r\).
Les produits à l’intérieur du tableau s’obtiennent en multipliant le nombre de la ligne par celui de la colonne.
Données et calculs :
Pour la première ligne, première colonne, le produit est : \[ \dfrac{5}{2} \times a = 1 \quad \Longrightarrow \quad a = \dfrac{1}{\frac{5}{2}} = \dfrac{2}{5}. \]
Pour la première ligne, deuxième colonne : \[ \dfrac{5}{2} \times b = 3 \quad \Longrightarrow \quad b = \dfrac{3}{\frac{5}{2}} = 3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}. \]
Pour la deuxième ligne, première colonne : \[ r \times a = \dfrac{2}{15} \quad \Longrightarrow \quad r = \dfrac{\frac{2}{15}}{a} = \dfrac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{5}} = \dfrac{2}{15} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}. \]
Pour la deuxième ligne, deuxième colonne (pour vérifier) : \[ r \times b = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}. \]
Tableau complété :
On retrouve ainsi :
Le tableau devient :
| \(\cdot\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{6}{5}\) |
|---|---|---|
| \(\dfrac{5}{2}\) | 1 | 3 |
| \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{2}{15}\) | \(\dfrac{2}{5}\) |
Le tableau initial est :
| \(\dfrac{1}{6}\) | ||
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{2}{3}\) | |
| \(\dfrac{1}{8}\) |
Interprétation :
Ici, le tableau comporte : - Une ligne d’en-têtes de colonnes (la
première ligne). Le premier cellule est vide pour laisser la place aux
en-têtes de colonne.
- Le reste des cellules provient du produit des en-têtes de colonnes et
de lignes.
On remarque que le tableau comporte 3 colonnes au total. Le premier n’étant réservé aux lignes, cela signifie que nous avons deux colonnes de produits : la première colonne de produits dont l’en-tête sera \(A\) (à déterminer) et la seconde colonne dont l’en-tête est fourni, \(\dfrac{1}{6}\).
De même, il y a deux lignes de produits. La première ligne possède pour en-tête \(\dfrac{1}{2}\) (déjà donnée) et la deuxième ligne possède un en-tête \(B\) à déterminer.
Reconstitution du tableau :
Pour la première ligne, première cellule (produit) : \[ \dfrac{1}{2} \times A = \dfrac{2}{3} \quad \Longrightarrow \quad A = \dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3} \times 2 = \dfrac{4}{3}. \]
Pour la première ligne, deuxième cellule (produit) : \[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}. \] (Ce produit complète la case vide de la première ligne, deuxième colonne.)
Pour la deuxième ligne, deuxième cellule (produit) : \[ B \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{8} \quad \Longrightarrow \quad B = \dfrac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{6}} = \dfrac{1}{8} \times 6 = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}. \]
Pour la deuxième ligne, première cellule (produit) : Il s’agit du produit de \(B\) par \(A\) : \[ B \times A = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} = 1. \]
Tableau complété :
Les en-têtes deviennent donc : - Colonnes : \(A = \dfrac{4}{3}\) et \(\dfrac{1}{6}\). - Lignes : \(\dfrac{1}{2}\) et \(B = \dfrac{3}{4}\).
Ce qui donne :
| \(\dfrac{4}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{1}{12}\) |
| \(\dfrac{3}{4}\) | 1 | \(\dfrac{1}{8}\) |
Les tableaux complétés sont :
Tableau 1 :
| \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{5}{2}\) | |
|---|---|---|
| \(\dfrac{5}{6}\) | \(\dfrac{5}{18}\) | \(\dfrac{25}{12}\) |
| \(\dfrac{3}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{3}{2}\) |
Tableau 2 :
| \(\cdot\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{6}{5}\) |
|---|---|---|
| \(\dfrac{5}{2}\) | 1 | 3 |
| \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{2}{15}\) | \(\dfrac{2}{5}\) |
Tableau 3 :
| \(\dfrac{4}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{1}{12}\) |
| \(\dfrac{3}{4}\) | 1 | \(\dfrac{1}{8}\) |
Chaque case du tableau est obtenue en multipliant le nombre situé en début de ligne par celui situé en haut de colonne. Cette méthode permet de compléter tous les éléments manquants.