Exercice : Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible
Réponses :
Voici la correction détaillée de chaque question :
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs sont 5 et 9. On peut utiliser 45 comme dénominateur
commun (puisque \(5 \times 9 =
45\)).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le
dénominateur 45
\[
\frac{4}{5} = \frac{4 \times 9}{5 \times 9} = \frac{36}{45} \quad
\text{et} \quad \frac{3}{9} = \frac{3 \times 5}{9 \times 5} =
\frac{15}{45}
\]
Étape 3 : Faire la somme
\[
\frac{36}{45} + \frac{15}{45} = \frac{36+15}{45} = \frac{51}{45}
\]
Étape 4 : Simplifier la fraction
On remarque que 51 et 45 se divisent par 3 :
\[
\frac{51}{45} = \frac{51 \div 3}{45 \div 3} = \frac{17}{15}
\]
Réponse : \(\displaystyle \frac{17}{15}\)
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs sont 12 et 8. Le plus petit commun multiple est 24
(car \(12 \times 2 = 24\) et \(8 \times 3 = 24\)).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le
dénominateur 24
\[
\frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24} \quad
\text{et} \quad \frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} =
\frac{15}{24}
\]
Étape 3 : Faire la somme
\[
\frac{14}{24} + \frac{15}{24} = \frac{14+15}{24} = \frac{29}{24}
\]
Réponse : \(\displaystyle \frac{29}{24}\)
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs sont 3 et 5. Leur plus petit commun multiple est \(3 \times 5 = 15\).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le
dénominateur 15
\[
\frac{4}{3} = \frac{4 \times 5}{3 \times 5} = \frac{20}{15} \quad
\text{et} \quad \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} =
\frac{6}{15}
\]
Étape 3 : Faire la somme
\[
\frac{20}{15} + \frac{6}{15} = \frac{20+6}{15} = \frac{26}{15}
\]
Réponse : \(\displaystyle \frac{26}{15}\)
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs sont 21 et 12.
On factorise :
- \(21 = 3 \times 7\)
- \(12 = 2^2 \times 3\)
Le plus petit multiple commun est \(3 \times 7 \times 2^2 = 84\).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le
dénominateur 84
\[
\frac{5}{21} = \frac{5 \times 4}{21 \times 4} = \frac{20}{84} \quad
\text{et} \quad \frac{2}{12} = \frac{2 \times 7}{12 \times 7} =
\frac{14}{84}
\]
Étape 3 : Effectuer la soustraction
\[
\frac{20}{84} - \frac{14}{84} = \frac{20-14}{84} = \frac{6}{84}
\]
Étape 4 : Simplifier la fraction
Divisons le numérateur et le dénominateur par 6 :
\[
\frac{6}{84} = \frac{6 \div 6}{84 \div 6} = \frac{1}{14}
\]
Réponse : \(\displaystyle \frac{1}{14}\)
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs 20 et 15 se factorisent ainsi :
- \(20 = 2^2 \times 5\)
- \(15 = 3 \times 5\)
Le commun multiple minimal est \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le
dénominateur 60
\[
\frac{19}{20} = \frac{19 \times 3}{20 \times 3} = \frac{57}{60} \quad
\text{et} \quad \frac{8}{15} = \frac{8 \times 4}{15 \times 4} =
\frac{32}{60}
\]
Étape 3 : Effectuer la soustraction
\[
\frac{57}{60} - \frac{32}{60} = \frac{57-32}{60} = \frac{25}{60}
\]
Étape 4 : Simplifier la fraction
Divisons le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[
\frac{25}{60} = \frac{25 \div 5}{60 \div 5} = \frac{5}{12}
\]
Réponse : \(\displaystyle \frac{5}{12}\)
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs 21 et 15 se factorisent ainsi :
- \(21 = 3 \times 7\)
- \(15 = 3 \times 5\)
Le plus petit commun multiple est \(3 \times 5 \times 7 = 105\).
Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le
dénominateur 105
\[
\frac{5}{21} = \frac{5 \times 5}{21 \times 5} = \frac{25}{105} \quad
\text{et} \quad \frac{2}{15} = \frac{2 \times 7}{15 \times 7} =
\frac{14}{105}
\]
Étape 3 : Effectuer la soustraction
\[
\frac{25}{105} - \frac{14}{105} = \frac{25 - 14}{105} = \frac{11}{105}
\]
Étape 4 : Vérifier la simplification
La fraction \(\frac{11}{105}\) est déjà
irréductible (11 est un nombre premier et ne divise pas 105).
Réponse : \(\displaystyle \frac{11}{105}\)
Ainsi, les réponses sous forme de fractions irréductibles sont :
\(\displaystyle \frac{17}{15}\)
\(\displaystyle \frac{29}{24}\)
\(\displaystyle \frac{26}{15}\)
\(\displaystyle \frac{1}{14}\)
\(\displaystyle \frac{5}{12}\)
\(\displaystyle \frac{11}{105}\)