Exercice :
Effectuez les opérations de soustraction suivantes et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible :
Réponses : 41/54, 151/45, 31/36, 121/72, 20/3, 9/25.
Voici la correction détaillée pour chaque soustraction :
Déterminer le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 27 et 18.
On cherche le plus petit multiple commun (PPCM) de 27 et 18.
Comme \(27 = 3^3\) et \(18 = 2 \times 3^2\), le PPCM est
\[
2 \times 3^3 = 54.
\]
Écrire chaque fraction avec le dénominateur 54
:
Pour \(\frac{22}{27}\), multiplier le
numérateur et le dénominateur par 2 : \[
\frac{22}{27} = \frac{22 \times 2}{27 \times 2} = \frac{44}{54}.
\]
Pour \(\frac{1}{18}\), multiplier par 3
: \[
\frac{1}{18} = \frac{1 \times 3}{18 \times 3} = \frac{3}{54}.
\]
Effectuer la soustraction : \[ \frac{44}{54} - \frac{3}{54} = \frac{44 - 3}{54} = \frac{41}{54}. \]
Conclusion :
\(\frac{41}{54}\) est irréductible car
41 est un nombre premier et ne divise pas 54.
Déterminer le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 9 et 5.
Le PPCM de 9 et 5 est
\[
9 \times 5 = 45.
\]
Exprimer chaque fraction avec le dénominateur 45
:
Pour \(\frac{32}{9}\), multiplier par 5
: \[
\frac{32}{9} = \frac{32 \times 5}{9 \times 5} = \frac{160}{45}.
\]
Pour \(\frac{1}{5}\), multiplier par 9
: \[
\frac{1}{5} = \frac{1 \times 9}{5 \times 9} = \frac{9}{45}.
\]
Effectuer la soustraction : \[ \frac{160}{45} - \frac{9}{45} = \frac{160 - 9}{45} = \frac{151}{45}. \]
Conclusion :
\(\frac{151}{45}\) est irréductible car
151 est un nombre premier et ne partage aucun facteur avec 45.
Déterminer le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 18 et 12.
On factorise :
\(18 = 2 \times 3^2\) et \(12 = 2^2 \times 3\).
Le PPCM est
\[
2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36.
\]
Réécrire les fractions avec le dénominateur 36
:
Pour \(\frac{17}{18}\), multiplier par
2 : \[
\frac{17}{18} = \frac{17 \times 2}{18 \times 2} = \frac{34}{36}.
\]
Pour \(\frac{1}{12}\), multiplier par 3
: \[
\frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{12 \times 3} = \frac{3}{36}.
\]
Effectuer la soustraction : \[ \frac{34}{36} - \frac{3}{36} = \frac{34 - 3}{36} = \frac{31}{36}. \]
Conclusion :
\(\frac{31}{36}\) est irréductible car
31 est premier.
Déterminer le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 8 et 9.
Le PPCM de 8 et 9 est
\[
8 \times 9 = 72.
\]
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 72
:
Pour \(\frac{17}{8}\), multiplier par 9
: \[
\frac{17}{8} = \frac{17 \times 9}{8 \times 9} = \frac{153}{72}.
\] Pour \(\frac{4}{9}\),
multiplier par 8 : \[
\frac{4}{9} = \frac{4 \times 8}{9 \times 8} = \frac{32}{72}.
\]
Effectuer la soustraction : \[ \frac{153}{72} - \frac{32}{72} = \frac{153 - 32}{72} = \frac{121}{72}. \]
Conclusion :
\(\frac{121}{72}\) est irréductible car
\(121 = 11^2\) et 72 n’est divisible ni
par 11 ni par 11².
Déterminer le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 5 et 15.
Le PPCM de 5 et 15 est 15.
Exprimer chaque fraction avec le dénominateur 15
:
Pour \(\frac{34}{5}\), multiplier par 3
: \[
\frac{34}{5} = \frac{34 \times 3}{5 \times 3} = \frac{102}{15}.
\] Pour \(\frac{2}{15}\), le
dénominateur est déjà 15.
Effectuer la soustraction : \[ \frac{102}{15} - \frac{2}{15} = \frac{102 - 2}{15} = \frac{100}{15}. \]
Réduire la fraction :
On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 5 : \[
\frac{100 \div 5}{15 \div 5} = \frac{20}{3}.
\]
Conclusion :
\(\frac{20}{3}\) est la fraction
irréductible.
Déterminer le dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 25 et 5.
Le PPCM est 25, car 5 est un diviseur de 25.
Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 25
:
Pour \(\frac{1}{5}\), multiplier par 5
: \[
\frac{1}{5} = \frac{1 \times 5}{5 \times 5} = \frac{5}{25}.
\] La première fraction est déjà \(\frac{14}{25}\).
Effectuer la soustraction : \[ \frac{14}{25} - \frac{5}{25} = \frac{14 - 5}{25} = \frac{9}{25}. \]
Conclusion :
\(\frac{9}{25}\) est
irréductible.
Chacune des fractions obtenues est irréductible.