Exercice 122

Exercice

Calculer les sommes suivantes et exprimer chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible :

1. \(\frac{5}{8} + \frac{7}{12} + \frac{19}{18}\)

2. \(\frac{5}{48} + \frac{7}{32} + \frac{11}{16}\)

3. \(\frac{3}{7} + \frac{2}{9} + \frac{2}{3}\)

4. \(\frac{7}{5} + \frac{3}{4} + 2\)

Réponse

1. 163/72
   
2. 97/96
   
3. 83/63
   
4. 83/20

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice :

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Exercice

Calculer les sommes suivantes et exprimer chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible :

1. \(\frac{5}{8} + \frac{7}{12} + \frac{19}{18}\)
   
2. \(\frac{5}{48} + \frac{7}{32} + \frac{11}{16}\)
   
3. \(\frac{3}{7} + \frac{2}{9} + \frac{2}{3}\)
   
4. \(\frac{7}{5} + \frac{3}{4} + 2\)

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1) Calcul de \(\frac{5}{8} + \frac{7}{12} + \frac{19}{18}\)

Étape 1 : Déterminer le dénominateur commun

Les dénominateurs sont 8, 12 et 18.
Pour les mettre tous sous le même dénominateur, nous cherchons le plus petit multiple commun (PPCM).

Décomposons en facteurs premiers :

• \(8 = 2^3\)
  
• \(12 = 2^2 \times 3\)
  
• \(18 = 2 \times 3^2\)

Le PPCM se calcule en prenant le maximum de chaque exposant : - Pour 2 : exponent maximum \(= 3\)
- Pour 3 : exponent maximum \(= 2\)

Ainsi,
\[ \text{PPCM} = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72. \]

Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 72

• Pour \(\frac{5}{8}\) :
  \[ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 9}{8 \times 9} = \frac{45}{72}. \]
• Pour \(\frac{7}{12}\) :
  \[ \frac{7}{12} = \frac{7 \times 6}{12 \times 6} = \frac{42}{72}. \]
• Pour \(\frac{19}{18}\) :
  \[ \frac{19}{18} = \frac{19 \times 4}{18 \times 4} = \frac{76}{72}. \]

Étape 3 : Additionner les fractions

Additionnons les numérateurs : \[ 45 + 42 + 76 = 163. \] L’expression devient donc : \[ \frac{163}{72}. \]

Conclusion :
\[ \frac{5}{8} + \frac{7}{12} + \frac{19}{18} = \frac{163}{72}. \] La fraction \(\frac{163}{72}\) est irréductible.

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2) Calcul de \(\frac{5}{48} + \frac{7}{32} + \frac{11}{16}\)

Étape 1 : Trouver un dénominateur commun

Les dénominateurs sont 48, 32 et 16.
Décomposons-les en facteurs premiers :

• \(48 = 2^4 \times 3\)
  
• \(32 = 2^5\)
  
• \(16 = 2^4\)

Le dénominateur commun doit contenir : - Pour 2 : la puissance maximale est \(2^5\)
- Pour 3 : \(3^1\)

On a donc : \[ \text{PPCM} = 2^5 \times 3 = 32 \times 3 = 96. \]

Étape 2 : Réécrire chaque fraction avec le dénominateur 96

• Pour \(\frac{5}{48}\) :
  \[ \frac{5}{48} = \frac{5 \times 2}{48 \times 2} = \frac{10}{96}. \]
• Pour \(\frac{7}{32}\) :
  \[ \frac{7}{32} = \frac{7 \times 3}{32 \times 3} = \frac{21}{96}. \]
• Pour \(\frac{11}{16}\) :
  \[ \frac{11}{16} = \frac{11 \times 6}{16 \times 6} = \frac{66}{96}. \]

Étape 3 : Additionner les fractions

Additionnons les numérateurs : \[ 10 + 21 + 66 = 97. \] La somme devient : \[ \frac{97}{96}. \]

Conclusion :
\[ \frac{5}{48} + \frac{7}{32} + \frac{11}{16} = \frac{97}{96}. \] La fraction \(\frac{97}{96}\) est irréductible.

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3) Calcul de \(\frac{3}{7} + \frac{2}{9} + \frac{2}{3}\)

Étape 1 : Déterminer le dénominateur commun

Les dénominateurs sont 7, 9 et 3.
Le PPCM de 7, 9 et 3 se trouve en remarquant que 7 est un nombre premier et 9 est \(3^2\) (le 3 est déjà inclus dans 9). Ainsi : \[ \text{PPCM} = 7 \times 9 = 63. \]

Étape 2 : Réécrire les fractions avec le dénominateur 63

• Pour \(\frac{3}{7}\) :
  \[ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63}. \]
• Pour \(\frac{2}{9}\) :
  \[ \frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}. \]
• Pour \(\frac{2}{3}\) :
  \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 21}{3 \times 21} = \frac{42}{63}. \]

Étape 3 : Additionner les fractions

Additionnons les numérateurs : \[ 27 + 14 + 42 = 83. \] La somme donne : \[ \frac{83}{63}. \]

Conclusion :
\[ \frac{3}{7} + \frac{2}{9} + \frac{2}{3} = \frac{83}{63}. \] La fraction \(\frac{83}{63}\) est irréductible.

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4) Calcul de \(\frac{7}{5} + \frac{3}{4} + 2\)

Étape 1 : Représenter tous les termes sous forme de fractions

Les nombres sont \(\frac{7}{5}\), \(\frac{3}{4}\) et \(2\).
On va écrire \(2\) sous forme fractionnaire avec le dénominateur commun aux deux autres fractions (5 et 4).

Étape 2 : Trouver un dénominateur commun

Le PPCM de 5 et 4 est : \[ \text{PPCM} = 5 \times 4 = 20. \]

Étape 3 : Réécrire chaque terme avec le dénominateur 20

• Pour \(\frac{7}{5}\) :
  \[ \frac{7}{5} = \frac{7 \times 4}{5 \times 4} = \frac{28}{20}. \]
• Pour \(\frac{3}{4}\) :
  \[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}. \]
• Pour \(2\) :
  \[ 2 = \frac{2 \times 20}{20} = \frac{40}{20}. \]

Étape 4 : Additionner les fractions

Additionnons les numérateurs : \[ 28 + 15 + 40 = 83. \] La somme est alors : \[ \frac{83}{20}. \]

Conclusion :
\[ \frac{7}{5} + \frac{3}{4} + 2 = \frac{83}{20}. \] La fraction \(\frac{83}{20}\) est irréductible.

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Résumé des réponses

1. \(\displaystyle \frac{163}{72}\)
   
2. \(\displaystyle \frac{97}{96}\)
   
3. \(\displaystyle \frac{83}{63}\)
   
4. \(\displaystyle \frac{83}{20}\)

Chaque résultat est exprimé sous forme d’une fraction irréductible.