Calculer les sommes suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
Voici la correction détaillée pour chacune des sommes :
Étape 1 : Déterminer le dénominateur commun
Pour additionner \(\frac{2}{9}\) et
\(\frac{1}{12}\), il faut trouver un
dénominateur commun.
Les dénominateurs sont 9 et 12.
On peut remarquer que le plus petit commun multiple (PPCM) de 9 et 12
est 36.
Étape 2 : Écrire chaque fraction avec le dénominateur 36
Pour \(\frac{2}{9}\) :
Multiplier numérateur et dénominateur par 4, car \(9 \times 4 = 36\)
\[
\frac{2}{9} = \frac{2 \times 4}{9 \times 4} = \frac{8}{36}
\]
Pour \(\frac{1}{12}\) :
Multiplier numérateur et dénominateur par 3, car \(12 \times 3 = 36\)
\[
\frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{12 \times 3} = \frac{3}{36}
\]
Étape 3 : Additionner les fractions
\[ \frac{8}{36} + \frac{3}{36} = \frac{8+3}{36} = \frac{11}{36} \]
La fraction \(\frac{11}{36}\) est irréductible.
Étape 1 : Déterminer le dénominateur commun
Les dénominateurs ici sont 8 et 14.
Facteurs premiers :
- \(8 = 2^3\)
- \(14 = 2 \times 7\)
Le PPCM est \(2^3 \times 7 = 8 \times 7 = 56\).
Étape 2 : Réécrire les fractions avec le dénominateur 56
Pour \(\frac{3}{8}\) :
Multiplier par 7 :
\[
\frac{3}{8} = \frac{3 \times 7}{8 \times 7} = \frac{21}{56}
\]
Pour \(\frac{9}{14}\) :
Multiplier par 4 :
\[
\frac{9}{14} = \frac{9 \times 4}{14 \times 4} = \frac{36}{56}
\]
Étape 3 : Additionner
\[ \frac{21}{56} + \frac{36}{56} = \frac{21+36}{56} = \frac{57}{56} \]
La fraction \(\frac{57}{56}\) est irréductible.
Étape 1 : Déterminer le dénominateur commun
Les dénominateurs sont 4 et 15.
Leurs facteurs premiers sont respectivement :
- \(4 = 2^2\)
- \(15 = 3 \times 5\)
Le PPCM est \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).
Étape 2 : Écrire les fractions avec le dénominateur 60
Pour \(\frac{3}{4}\) :
Multiplier par 15 :
\[
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 15}{4 \times 15} = \frac{45}{60}
\]
Pour \(\frac{1}{15}\) :
Multiplier par 4 :
\[
\frac{1}{15} = \frac{1 \times 4}{15 \times 4} = \frac{4}{60}
\]
Étape 3 : Additionner
\[ \frac{45}{60} + \frac{4}{60} = \frac{45+4}{60} = \frac{49}{60} \]
La fraction \(\frac{49}{60}\) est irréductible.
Étape 1 : Déterminer le dénominateur commun
Les dénominateurs ici sont 10 et 12.
Facteurs premiers :
- \(10 = 2 \times 5\)
- \(12 = 2^2 \times 3\)
Le PPCM est \(2^2 \times 3 \times 5 = 60\).
Étape 2 : Convertir les fractions en ayant 60 pour dénominateur
Pour \(\frac{7}{10}\) :
Multiplier par 6 :
\[
\frac{7}{10} = \frac{7 \times 6}{10 \times 6} = \frac{42}{60}
\]
Pour \(\frac{5}{12}\) :
Multiplier par 5 :
\[
\frac{5}{12} = \frac{5 \times 5}{12 \times 5} = \frac{25}{60}
\]
Étape 3 : Additionner
\[ \frac{42}{60} + \frac{25}{60} = \frac{42+25}{60} = \frac{67}{60} \]
La fraction \(\frac{67}{60}\) est irréductible.
Étape 1 : Trouver le dénominateur commun
Les dénominateurs sont 18 et 30.
Décompositions en facteurs premiers :
- \(18 = 2 \times 3^2\)
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
Le PPCM est \(2 \times 3^2 \times 5 = 90\).
Étape 2 : Réécrire les fractions avec le dénominateur 90
Pour \(\frac{5}{18}\) :
Multiplier par 5 :
\[
\frac{5}{18} = \frac{5 \times 5}{18 \times 5} = \frac{25}{90}
\]
Pour \(\frac{11}{30}\) :
Multiplier par 3 :
\[
\frac{11}{30} = \frac{11 \times 3}{30 \times 3} = \frac{33}{90}
\]
Étape 3 : Additionner et simplifier
\[ \frac{25}{90} + \frac{33}{90} = \frac{25+33}{90} = \frac{58}{90} \]
On peut simplifier \(\frac{58}{90}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :
\[ \frac{58 \div 2}{90 \div 2} = \frac{29}{45} \]
La fraction \(\frac{29}{45}\) est irréductible.
Étape 1 : Déterminer le dénominateur commun
Les dénominateurs sont 5 et 12.
Le PPCM de 5 et 12 est \(5 \times 12 =
60\).
Étape 2 : Convertir les fractions en ayant 60 pour dénominateur
Pour \(\frac{1}{5}\) :
Multiplier par 12 :
\[
\frac{1}{5} = \frac{1 \times 12}{5 \times 12} = \frac{12}{60}
\]
Pour \(\frac{5}{12}\) :
Multiplier par 5 :
\[
\frac{5}{12} = \frac{5 \times 5}{12 \times 5} = \frac{25}{60}
\]
Étape 3 : Additionner
\[ \frac{12}{60} + \frac{25}{60} = \frac{12+25}{60} = \frac{37}{60} \]
La fraction \(\frac{37}{60}\) est irréductible.
Chaque somme a été réduite à une fraction irréductible.