Exercice 116

Exercice

Classer les nombres suivants par ordre croissant.

1. \(\frac{5}{13} ;\; \frac{2}{13} ;\; \frac{19}{13} ;\; \frac{13}{13}\)
2. \(\frac{1}{2} ;\; \frac{3}{4} ;\; \frac{1}{3} ;\; \frac{19}{28}\)
3. \(\frac{11}{9} ;\; \frac{7}{6} ;\; 3 ;\; \frac{19}{18}\)

Réponse

1. 2/13 < 5/13 < 13/13 < 19/13
   
2. 1/3 < 1/2 < 19/28 < 3/4
   
3. 19/18 < 7/6 < 11/9 < 3

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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1. Classement de \(\frac{5}{13} ;\; \frac{2}{13} ;\; \frac{19}{13} ;\; \frac{13}{13}\)

Étape 1 : Identifier le dénominateur commun

Les quatre fractions ont le même dénominateur \(13\).
Ainsi, il suffit de comparer leur numérateur.

• Pour \(\frac{5}{13}\), le numérateur est \(5\).
• Pour \(\frac{2}{13}\), le numérateur est \(2\).
• Pour \(\frac{19}{13}\), le numérateur est \(19\).
• Pour \(\frac{13}{13}\), le numérateur est \(13\).

Étape 2 : Classer les numérateurs en ordre croissant

Les numérateurs, classés par ordre croissant, sont :
\(2 < 5 < 13 < 19\).

Conclusion pour la partie 1 :

L’ordre croissant des fractions est : \[ \frac{2}{13} \;<\; \frac{5}{13} \;<\; \frac{13}{13} \;<\; \frac{19}{13}. \]

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2. Classement de \(\frac{1}{2} ;\; \frac{3}{4} ;\; \frac{1}{3} ;\; \frac{19}{28}\)

Étape 1 : Comparer les fractions

Pour comparer ces nombres, on peut les transformer en nombres décimaux.

• \(\frac{1}{2} = 0{,}5\).
• \(\frac{3}{4} = 0{,}75\).
• \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333...\).
• \(\frac{19}{28}\) :
  Pour obtenir une valeur approchée, on effectue la division \(19 \div 28 \approx 0{,}6786\).

Étape 2 : Classer les valeurs

Les valeurs obtenues sont : - \(\frac{1}{3} \approx 0{,}333...\) - \(\frac{1}{2} = 0{,}5\) - \(\frac{19}{28} \approx 0{,}6786\) - \(\frac{3}{4} = 0{,}75\)

Conclusion pour la partie 2 :

L’ordre croissant est : \[ \frac{1}{3} \;<\; \frac{1}{2} \;<\; \frac{19}{28} \;<\; \frac{3}{4}. \]

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3. Classement de \(\frac{11}{9} ;\; \frac{7}{6} ;\; 3 ;\; \frac{19}{18}\)

Étape 1 : Transformer en nombres décimaux ou trouver un dénominateur commun

Nous allons tout d’abord approximer chaque fraction :

• \(\frac{11}{9} \approx 1{,}222...\)
• \(\frac{7}{6} \approx 1{,}166...\)
• \(3\) reste \(3\).
• \(\frac{19}{18} \approx 1{,}055...\)

Étape 2 : Classer les nombres obtenus

En les rangeant du plus petit au plus grand, nous avons :

1. \(\frac{19}{18} \approx 1{,}055...\)
2. \(\frac{7}{6} \approx 1{,}166...\)
3. \(\frac{11}{9} \approx 1{,}222...\)
4. \(3\)

Vérification par mise sous le même dénominateur :

Pour une confirmation plus rigoureuse, on peut mettre \(\frac{7}{6}\) et \(\frac{11}{9}\) sur un dénominateur commun, ici \(18\) fait l’affaire.

• \(\frac{19}{18}\) reste tel quel.
• Pour \(\frac{7}{6}\), multiplier numérateur et dénominateur par \(3\) donne \(\frac{21}{18}\).
• Pour \(\frac{11}{9}\), multiplier numérateur et dénominateur par \(2\) donne \(\frac{22}{18}\).

On voit clairement que : \[ \frac{19}{18} < \frac{21}{18} < \frac{22}{18} < 3. \]

Conclusion pour la partie 3 :

L’ordre croissant est : \[ \frac{19}{18} \;<\; \frac{7}{6} \;<\; \frac{11}{9} \;<\; 3. \]

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Résumé final des résultats

1. \(\frac{2}{13} \;<\; \frac{5}{13} \;<\; \frac{13}{13} \;<\; \frac{19}{13}\)

2. \(\frac{1}{3} \;<\; \frac{1}{2} \;<\; \frac{19}{28} \;<\; \frac{3}{4}\)

3. \(\frac{19}{18} \;<\; \frac{7}{6} \;<\; \frac{11}{9} \;<\; 3\)

Cette méthode a permis de comparer et classer chaque nombre de manière claire et précise.