Exercice 110

Utilisez la décomposition en produit de facteurs premiers pour exprimer les fractions suivantes sous leur forme irréductible :

  1. \(\frac{1232}{364}\)
  2. \(\frac{231}{315}\)
  3. \(\frac{104}{117}\)
  4. \(\frac{68}{85}\)
  5. \(\frac{1386}{4620}\)
  6. \(\frac{231}{308}\)
  7. \(\frac{924}{1540}\)
  8. \(\frac{135}{308}\)

Réponse

  1. 44/13
  2. 11/15
  3. 8/9
  4. 4/5
  5. 3/10
  6. 3/4
  7. 3/5
  8. 135/308

Chaque fraction est obtenue en annulant les facteurs premiers communs.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque fraction en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers.

1) \(\frac{1232}{364}\)

Décomposition de 1232 :

  1. \(1232\) est pair, on divise par \(2\) :
    \[ 1232 \div 2 = 616 \]
  2. \(616\) est encore pair :
    \[ 616 \div 2 = 308 \]
  3. \(308\) est pair :
    \[ 308 \div 2 = 154 \]
  4. \(154\) est pair :
    \[ 154 \div 2 = 77 \]
  5. \(77\) se décompose en \(7 \times 11\).

Donc, la décomposition de \(1232\) est :
\[ 1232 = 2^4 \times 7 \times 11 \]

Décomposition de 364 :

  1. \(364\) est pair :
    \[ 364 \div 2 = 182 \]
  2. \(182\) est encore pair :
    \[ 182 \div 2 = 91 \]
  3. \(91 = 7 \times 13\).

Donc, la décomposition de \(364\) est :
\[ 364 = 2^2 \times 7 \times 13 \]

Simplification de la fraction :

\[ \frac{1232}{364} = \frac{2^4 \times 7 \times 11}{2^2 \times 7 \times 13} \]

On peut annuler le facteur commun \(2^2\) et \(7\) :

\[ \frac{2^{4-2} \times 11}{13} = \frac{2^2 \times 11}{13} = \frac{4 \times 11}{13} = \frac{44}{13} \]

2) \(\frac{231}{315}\)

Décomposition de 231 :

  1. \(2 + 3 + 1 = 6\) donc divisible par \(3\) :
    \[ 231 \div 3 = 77 \]
  2. \(77 = 7 \times 11\).

Donc,
\[ 231 = 3 \times 7 \times 11 \]

Décomposition de 315 :

  1. \(3 + 1 + 5 = 9\) (divisible par \(3\)) :
    \[ 315 \div 3 = 105 \]
  2. \(105 \div 3 = 35\) (car \(1+0+5=6\) est divisible par \(3\)) :
    \[ 105 = 3 \times 35 \]
  3. \(35 = 5 \times 7\).

Donc,
\[ 315 = 3^2 \times 5 \times 7 \]

Simplification :

\[ \frac{231}{315} = \frac{3 \times 7 \times 11}{3^2 \times 5 \times 7} \]

Annulons le \(3\) commun (la puissance la plus faible est \(3^1\)) et \(7\) :

\[ \frac{11}{3 \times 5} = \frac{11}{15} \]

3) \(\frac{104}{117}\)

Décomposition de 104 :

  1. \(104\) est pair :
    \[ 104 \div 2 = 52 \]
  2. \(52 \div 2 = 26\)
  3. \(26 \div 2 = 13\)

Donc,
\[ 104 = 2^3 \times 13 \]

Décomposition de 117 :

  1. \(1+1+7 = 9\) donc divisible par \(3\) :
    \[ 117 \div 3 = 39 \]
  2. \(39 \div 3 = 13\)

Donc,
\[ 117 = 3^2 \times 13 \]

Simplification :

\[ \frac{104}{117} = \frac{2^3 \times 13}{3^2 \times 13} \]

Le facteur \(13\) s’annule :
\[ \frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9} \]

4) \(\frac{68}{85}\)

Décomposition de 68 :

  1. \(68\) est pair :
    \[ 68 \div 2 = 34 \]
  2. \(34 \div 2 = 17\) (et \(17\) est premier)

Donc,
\[ 68 = 2^2 \times 17 \]

Décomposition de 85 :

\[ 85 = 5 \times 17 \]

Simplification :

\[ \frac{68}{85} = \frac{2^2 \times 17}{5 \times 17} \]

Annulons le facteur \(17\) :

\[ \frac{2^2}{5} = \frac{4}{5} \]

5) \(\frac{1386}{4620}\)

Décomposition de 1386 :

  1. \(1386\) est pair :
    \[ 1386 \div 2 = 693 \]
  2. \(693\) : \(6 + 9 + 3 = 18\) divisible par \(3\) :
    \[ 693 \div 3 = 231 \]
  3. \(231 = 3 \times 77\) et \(77 = 7 \times 11\).

Ainsi,
\[ 1386 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 11 \]

Décomposition de 4620 :

  1. \(4620\) est pair :
    \[ 4620 \div 2 = 2310 \]
  2. \(2310\) est pair :
    \[ 2310 \div 2 = 1155 \]
  3. \(1155\) : \(1+1+5+5=12\) divisible par \(3\) :
    \[ 1155 \div 3 = 385 \]
  4. \(385 = 5 \times 7 \times 11\).

Donc,
\[ 4620 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \]

Simplification :

\[ \frac{1386}{4620} = \frac{2 \times 3^2 \times 7 \times 11}{2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11} \]

Les facteurs communs \(2, 3, 7\) et \(11\) s’annulent partiellement :

Il reste donc :

\[ \frac{3}{2 \times 5} = \frac{3}{10} \]

6) \(\frac{231}{308}\)

Décomposition de 231 :

\[ 231 = 3 \times 7 \times 11 \]

Décomposition de 308 :

  1. \(308\) est pair :
    \[ 308 \div 2 = 154 \]
  2. \(154\) est pair :
    \[ 154 \div 2 = 77 \]
  3. \(77 = 7 \times 11\).

Donc,
\[ 308 = 2^2 \times 7 \times 11 \]

Simplification :

\[ \frac{231}{308} = \frac{3 \times 7 \times 11}{2^2 \times 7 \times 11} \]

Annulons \(7\) et \(11\) :

\[ \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4} \]

7) \(\frac{924}{1540}\)

Décomposition de 924 :

  1. \(924\) est pair :
    \[ 924 \div 2 = 462 \]
  2. \(462\) est pair :
    \[ 462 \div 2 = 231 \]
  3. \(231 = 3 \times 7 \times 11\).

Donc,
\[ 924 = 2^2 \times 3 \times 7 \times 11 \]

Décomposition de 1540 :

  1. \(1540\) est pair :
    \[ 1540 \div 2 = 770 \]
  2. \(770\) est pair :
    \[ 770 \div 2 = 385 \]
  3. \(385 = 5 \times 7 \times 11\).

Donc,
\[ 1540 = 2^2 \times 5 \times 7 \times 11 \]

Simplification :

\[ \frac{924}{1540} = \frac{2^2 \times 3 \times 7 \times 11}{2^2 \times 5 \times 7 \times 11} \]

Les facteurs \(2^2\), \(7\) et \(11\) s’annulent :

\[ \frac{3}{5} \]

8) \(\frac{135}{308}\)

Décomposition de 135 :

  1. \(135 = 27 \times 5\) et \(27 = 3^3\).

Donc,
\[ 135 = 3^3 \times 5 \]

Décomposition de 308 :

Comme précédemment,
\[ 308 = 2^2 \times 7 \times 11 \]

Simplification :

La fraction devient :

\[ \frac{135}{308} = \frac{3^3 \times 5}{2^2 \times 7 \times 11} \]

Aucun facteur commun n’est présent entre le numérateur et le dénominateur. La fraction est donc déjà irréductible.

Réponses finales :

  1. \(\frac{1232}{364} = \frac{44}{13}\)
  2. \(\frac{231}{315} = \frac{11}{15}\)
  3. \(\frac{104}{117} = \frac{8}{9}\)
  4. \(\frac{68}{85} = \frac{4}{5}\)
  5. \(\frac{1386}{4620} = \frac{3}{10}\)
  6. \(\frac{231}{308} = \frac{3}{4}\)
  7. \(\frac{924}{1540} = \frac{3}{5}\)
  8. \(\frac{135}{308}\) (irréductible)

Chaque fraction a ainsi été simplifiée en décomposant le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers avant d’annuler les facteurs communs.

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