Exercice 109

Exercice :

Simplifier chacune des fractions suivantes sous forme irréductible :

1. \(\frac{2^{3} \cdot 5 \cdot 7^{3} \cdot 11}{2 \cdot 5^{3} \cdot 7 \cdot 11}\)

2. \(\frac{44 \cdot 42 \cdot 156}{196 \cdot 260 \cdot 99}\)

3. \(\frac{30 \cdot 19 \cdot 120 \cdot 33}{95 \cdot 2 \cdot 198}\)

Réponse

Réponses : 1) 196/25  2) 2/35  3) 60.

Corrigé détaillé

Nous allons simplifier chacune des fractions données en détaillant les étapes de réduction.

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1) \(\frac{2^{3} \cdot 5 \cdot 7^{3} \cdot 11}{2 \cdot 5^{3} \cdot 7 \cdot 11}\)

Étape 1 : Écrire les facteurs

• Numérateur : \(2^3 \cdot 5^1 \cdot 7^3 \cdot 11^1\)
• Dénominateur : \(2^1 \cdot 5^3 \cdot 7^1 \cdot 11^1\)

Étape 2 : Annuler les facteurs communs

• Pour la puissance de 2 : \(\frac{2^3}{2^1} = 2^{3-1} = 2^2\).
• Pour la puissance de 5 : \(\frac{5^1}{5^3} = \frac{1}{5^{3-1}} = \frac{1}{5^2}\).
• Pour la puissance de 7 : \(\frac{7^3}{7^1} = 7^{3-1} = 7^2\).
• Pour la puissance de 11 : \(\frac{11}{11} = 1\).

Étape 3 : Réécriture

Après simplification, nous obtenons : \[ \frac{2^2 \cdot 7^2}{5^2} \] En évaluant les puissances : \[ 2^2 = 4 \quad \text{et} \quad 7^2 = 49 \quad \text{et} \quad 5^2 = 25, \] nous avons : \[ \frac{4 \cdot 49}{25} = \frac{196}{25}. \]

Réponse de l’exercice 1 : \(\displaystyle \frac{196}{25}\).

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2) \(\frac{44 \cdot 42 \cdot 156}{196 \cdot 260 \cdot 99}\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers

• Pour le numérateur :

  • \(44 = 2^2 \cdot 11\).
  • \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\).
  • \(156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13\).

  En combinant : \[ 44 \cdot 42 \cdot 156 = \left(2^2 \cdot 11\right) \cdot \left(2 \cdot 3 \cdot 7\right) \cdot \left(2^2 \cdot 3 \cdot 13\right). \] On regroupe :

  • Puissance de 2 : \(2^2 \cdot 2 \cdot 2^2 = 2^{2+1+2} = 2^5\).
  • Puissance de 3 : \(3 \cdot 3 = 3^2\).
  • \(7\) apparaît une fois.
  • \(11\) apparaît une fois.
  • \(13\) apparaît une fois.

  Donc, le numérateur est : \[ 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13. \]

• Pour le dénominateur :

  • \(196 = 2^2 \cdot 7^2\) (car \(196 = 4 \cdot 49\)).
  • \(260 = 2^2 \cdot 5 \cdot 13\) (puisque \(260 = 4 \cdot 65\) et \(65 = 5 \cdot 13\)).
  • \(99 = 3^2 \cdot 11\) (puisque \(99 = 9 \cdot 11\)).

  En combinant : \[ 196 \cdot 260 \cdot 99 = \left(2^2 \cdot 7^2\right) \cdot \left(2^2 \cdot 5 \cdot 13\right) \cdot \left(3^2 \cdot 11\right). \] On regroupe :

  • Puissance de 2 : \(2^2 \cdot 2^2 = 2^{2+2} = 2^4\).
  • Puissance de 3 : \(3^2\).
  • Puissance de 7 : \(7^2\).
  • \(5\) apparaît une fois.
  • \(11\) apparaît une fois.
  • \(13\) apparaît une fois.

  Donc, le dénominateur est : \[ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13. \]

Étape 2 : Annuler les facteurs communs

Comparons le numérateur et le dénominateur :

• Pour \(2\) : \(2^5\) dans le numérateur et \(2^4\) dans le dénominateur donnent \(2^{5-4} = 2^1\) restant dans le numérateur.
• Pour \(3^2\) : s’annule complètement.
• Pour \(7\) : il reste \(7\) dans le numérateur et \(7^2\) dans le dénominateur, donc il restera \(7^{2-1} = 7\) dans le dénominateur.
• Les facteurs \(11\) et \(13\) s’annulent.
• Il reste le facteur \(5\) dans le dénominateur.

Étape 3 : Écrire la fraction simplifiée

Il reste : \[ \frac{2}{7 \cdot 5} = \frac{2}{35}. \]

Réponse de l’exercice 2 : \(\displaystyle \frac{2}{35}\).

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3) \(\frac{30 \cdot 19 \cdot 120 \cdot 33}{95 \cdot 2 \cdot 198}\)

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers

• Pour le numérateur :

  • \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).
  • \(19\) est un nombre premier.
  • \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\) (car \(120 = 8 \cdot 15\)).
  • \(33 = 3 \cdot 11\).

  On combine tous ces facteurs : \[ 30 \cdot 19 \cdot 120 \cdot 33 = (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot 19 \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 11). \] En regroupant :

  • Puissance de 2 : \(2 \cdot 2^3 = 2^{1+3} = 2^4\).
  • Puissance de 3 : \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3\).
  • Puissance de 5 : \(5 \cdot 5 = 5^2\).
  • Les nombres premiers : \(19\) et \(11\).

  Ainsi, le numérateur est : \[ 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 19 \cdot 11. \]

• Pour le dénominateur :

  • \(95 = 5 \cdot 19\) (car \(95 = 5 \cdot 19\)).
  • \(2\) est déjà premier.
  • \(198 = 2 \cdot 99 = 2 \cdot 3^2 \cdot 11\) (puisque \(99 = 3^2 \cdot 11\)).

  On combine : \[ 95 \cdot 2 \cdot 198 = (5 \cdot 19) \cdot 2 \cdot (2 \cdot 3^2 \cdot 11). \] En regroupant :

  • Puissance de 2 : \(2 \cdot 2 = 2^2\).
  • Un facteur \(5\).
  • Un facteur \(19\).
  • Puissance de 3 : \(3^2\).
  • Un facteur \(11\).

  Ainsi, le dénominateur devient : \[ 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19. \]

Étape 2 : Annuler les facteurs communs

Comparons numérateur et dénominateur :

• Pour \(2\) : \(2^4\) au numérateur et \(2^2\) au dénominateur donnent \(2^{4-2} = 2^2\) dans le numérateur.
• Pour \(3\) : \(3^3\) au numérateur et \(3^2\) au dénominateur donnent \(3^{3-2} = 3\) dans le numérateur.
• Pour \(5\) : \(5^2\) au numérateur et \(5\) au dénominateur donnent \(5^{2-1} = 5\) dans le numérateur.
• Les facteurs \(19\) et \(11\) se simplifient complètement.

Étape 3 : Calcul final

La fraction simplifiée devient : \[ 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60. \]

Réponse de l’exercice 3 : \(60\).

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Conclusion

Les fractions simplifiées sous leur forme irréductible sont :

1. \(\displaystyle \frac{196}{25}\)
   
2. \(\displaystyle \frac{2}{35}\)
   
3. \(60\)