Exercice 108

Réduisez chacune des fractions suivantes à leur forme irréductible :

1. \(\frac{90}{105}\)
   
2. \(\frac{81}{54}\)
   
3. \(\frac{48}{56}\)
   
4. \(\frac{68}{85}\)
   
5. \(\frac{200}{418}\)
   
6. \(\frac{2052}{1710}\)

Réponse

Les fractions simplifiées sont :
1) 6/7, 2) 3/2, 3) 6/7, 4) 4/5, 5) 100/209, 6) 6/5.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des fractions :

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1) Réduction de \(\frac{90}{105}\)

Étape 1 : On recherche le plus grand diviseur commun (PGCD) de \(90\) et \(105\).

• On peut remarquer que \(90\) et \(105\) sont tous deux divisibles par \(15\) : \[ 90 \div 15 = 6 \quad \text{et} \quad 105 \div 15 = 7. \]

Étape 2 : On écrit la fraction sous forme simplifiée : \[ \frac{90}{105} = \frac{6}{7}. \]

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2) Réduction de \(\frac{81}{54}\)

Étape 1 : Trouvons le PGCD de \(81\) et \(54\).

• On décompose en facteurs premiers : \[ 81 = 3^4 \quad \text{et} \quad 54 = 2 \times 3^3. \]
• Le PGCD est donc \(3^3 = 27\).

Étape 2 : On simplifie la fraction : \[ \frac{81}{54} = \frac{81 \div 27}{54 \div 27} = \frac{3}{2}. \]

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3) Réduction de \(\frac{48}{56}\)

Étape 1 : Déterminons le PGCD de \(48\) et \(56\).

• On remarque que \(8\) divise les deux nombres : \[ 48 \div 8 = 6 \quad \text{et} \quad 56 \div 8 = 7. \]

Étape 2 : La fraction simplifiée est : \[ \frac{48}{56} = \frac{6}{7}. \]

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4) Réduction de \(\frac{68}{85}\)

Étape 1 : Cherchons le PGCD de \(68\) et \(85\).

• On constate que \(17\) est un diviseur commun : \[ 68 \div 17 = 4 \quad \text{et} \quad 85 \div 17 = 5. \]

Étape 2 : On simplifie la fraction en : \[ \frac{68}{85} = \frac{4}{5}. \]

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5) Réduction de \(\frac{200}{418}\)

Étape 1 : Trouvons le PGCD de \(200\) et \(418\).

• \(200\) est un nombre pair et \(418\) aussi. On commence par diviser par \(2\) : \[ 200 \div 2 = 100, \quad 418 \div 2 = 209. \]
• On écrit alors la fraction sous la forme : \[ \frac{200}{418} = \frac{100}{209}. \]
• On vérifie les facteurs : \(100 = 2^2 \times 5^2\) et \(209 = 11 \times 19\). Aucun diviseur commun n’est trouvé entre \(100\) et \(209\).

Étape 2 : La fraction irréductible est : \[ \frac{100}{209}. \]

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6) Réduction de \(\frac{2052}{1710}\)

Étape 1 : Simplifions progressivement la fraction.

1. Divisons par \(2\), car les deux nombres sont pairs : \[ 2052 \div 2 = 1026, \quad 1710 \div 2 = 855. \] On obtient donc : \[ \frac{2052}{1710} = \frac{1026}{855}. \]

2. Divisons par \(3\) (la somme des chiffres de \(1026\) et \(855\) est un multiple de \(3\)) : \[ 1026 \div 3 = 342, \quad 855 \div 3 = 285. \] Ainsi : \[ \frac{1026}{855} = \frac{342}{285}. \]

3. Divisons encore par \(3\) : \[ 342 \div 3 = 114, \quad 285 \div 3 = 95. \] Ce qui donne : \[ \frac{342}{285} = \frac{114}{95}. \]

4. Vérifions les facteurs de \(114\) et \(95\) :

   • \(114 = 2 \times 3 \times 19\)
   • \(95 = 5 \times 19\)

   On voit que \(19\) est un facteur commun.

5. Divisons par \(19\) : \[ 114 \div 19 = 6, \quad 95 \div 19 = 5. \]

Étape 2 : La fraction simplifiée est alors : \[ \frac{2052}{1710} = \frac{6}{5}. \]

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Résumé des résultats

1. \(\frac{90}{105} = \frac{6}{7}\)
   
2. \(\frac{81}{54} = \frac{3}{2}\)
   
3. \(\frac{48}{56} = \frac{6}{7}\)
   
4. \(\frac{68}{85} = \frac{4}{5}\)
   
5. \(\frac{200}{418} = \frac{100}{209}\)
   
6. \(\frac{2052}{1710} = \frac{6}{5}\)

Chaque fraction a été réduite en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.