Exercice 107
Exercice
Réduisez chacune des fractions suivantes à leur forme irréductible
:
- \(\frac{57}{133}\)
- \(\frac{44}{121}\)
- \(\frac{748}{352}\)
- \(\frac{270}{540}\)
- \(\frac{12}{18}\)
- \(\frac{15}{105}\)
Réponse
Les fractions réduites sont :
1) 57/133 = 3/7
2) 44/121 = 4/11
3) 748/352 = 17/8
4) 270/540 = 1/2
5) 12/18 = 2/3
6) 15/105 = 1/7.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de chaque réduction :
1) Réduire \(\frac{57}{133}\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- Pour le numérateur :
\[
57 = 3 \times 19
\]
- Pour le dénominateur :
\[
133 = 7 \times 19
\]
- Identification du facteur commun :
Le facteur commun aux deux nombres est \(19\).
- Division par le facteur commun :
\[
\frac{57}{133} = \frac{3 \times 19}{7 \times 19} = \frac{3}{7}
\]
La fraction réduite est donc :
\[
\frac{57}{133} = \frac{3}{7}
\]
2) Réduire \(\frac{44}{121}\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- Pour le numérateur :
\[
44 = 4 \times 11 \quad \text{(ou encore } 2 \times 2 \times 11\text{)}
\]
- Pour le dénominateur :
\[
121 = 11 \times 11
\]
- Identification du facteur commun :
Le facteur commun est \(11\).
- Division par le facteur commun :
\[
\frac{44}{121} = \frac{4 \times 11}{11 \times 11} = \frac{4}{11}
\]
La fraction réduite est donc :
\[
\frac{44}{121} = \frac{4}{11}
\]
3) Réduire \(\frac{748}{352}\)
Utiliser l’algorithme d’Euclide pour trouver le plus
grand commun diviseur (PGCD) :
On commence par calculer \(748 \div
352\) : \[
748 = 2 \times 352 + 44
\] Le reste est \(44\).
Ensuite, on calcule le PGCD entre \(352\) et \(44\) : \[
352 \div 44 = 8 \quad \text{(car } 8 \times 44 = 352\text{)}
\] Le reste est \(0\).
Ainsi, le PGCD est \(44\).
Division par le PGCD :
\[
\frac{748}{352} = \frac{748 \div 44}{352 \div 44} = \frac{17}{8}
\]
La fraction réduite est :
\[
\frac{748}{352} = \frac{17}{8}
\]
4) Réduire \(\frac{270}{540}\)
- Simplification par division évidente :
On remarque que \(270\) divise \(540\) car : \[
540 = 2 \times 270
\]
- Division directe :
\[
\frac{270}{540} = \frac{1}{2}
\]
La fraction réduite est donc :
\[
\frac{270}{540} = \frac{1}{2}
\]
5) Réduire \(\frac{12}{18}\)
- Trouver le plus grand commun diviseur :
Pour \(12\) et \(18\), le PGCD est \(6\) (car \(12 = 6
\times 2\) et \(18 = 6 \times
3\)).
- Division par le PGCD :
\[
\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}
\]
La fraction réduite est :
\[
\frac{12}{18} = \frac{2}{3}
\]
6) Réduire \(\frac{15}{105}\)
- Trouver le plus grand commun diviseur :
Le PGCD de \(15\) et \(105\) est \(15\) (car \(105 =
15 \times 7\)).
- Division par le PGCD :
\[
\frac{15}{105} = \frac{15 \div 15}{105 \div 15} = \frac{1}{7}
\]
La fraction réduite est donc :
\[
\frac{15}{105} = \frac{1}{7}
\]
Résumé des réponses :
- \(\frac{57}{133} =
\frac{3}{7}\)
- \(\frac{44}{121} =
\frac{4}{11}\)
- \(\frac{748}{352} =
\frac{17}{8}\)
- \(\frac{270}{540} =
\frac{1}{2}\)
- \(\frac{12}{18} =
\frac{2}{3}\)
- \(\frac{15}{105} =
\frac{1}{7}\)
Cette démarche de recherche du PGCD (soit par décomposition en
facteurs premiers ou par l’algorithme d’Euclide) permet de réduire
correctement chaque fraction à sa forme irréductible.