Exercice 106

Mettre chacune des fractions suivantes sous forme irréductible :

1. \(\frac{60}{42}\)
2. \(\frac{84}{90}\)
3. \(\frac{30}{28}\)
4. \(\frac{140}{126}\)
5. \(\frac{77}{91}\)
6. \(\frac{13}{26}\)

Réponse

Réponses : 1) 60/42 = 10/7
2) 84/90 = 14/15
3) 30/28 = 15/14
4) 140/126 = 10/9
5) 77/91 = 11/13
6) 13/26 = 1/2

Corrigé détaillé

Nous allons réduire chacune des fractions en trouvant leur plus grand diviseur commun (PGCD) et en divisant le numérateur et le dénominateur par ce nombre.

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1) Réduction de \(\frac{60}{42}\)

1. Déterminer le PGCD :
   Les décompositions en facteurs premiers sont :
   \[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \quad \text{et} \quad 42 = 2 \times 3 \times 7. \]
   Les facteurs communs sont \(2\) et \(3\), donc
   \[ \text{PGCD} = 2 \times 3 = 6. \]

2. Diviser le numérateur et le dénominateur par 6 :
   \[ \frac{60}{42} = \frac{60 \div 6}{42 \div 6} = \frac{10}{7}. \]

La fraction irréductible est \(\frac{10}{7}\).

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2) Réduction de \(\frac{84}{90}\)

1. Déterminer le PGCD :
   Décomposons les nombres :
   \[ 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \quad \text{et} \quad 90 = 2 \times 3^2 \times 5. \]
   Les facteurs communs sont \(2\) et \(3\), donc
   \[ \text{PGCD} = 2 \times 3 = 6. \]

2. Diviser par le PGCD :
   \[ \frac{84}{90} = \frac{84 \div 6}{90 \div 6} = \frac{14}{15}. \]

La fraction irréductible est \(\frac{14}{15}\).

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3) Réduction de \(\frac{30}{28}\)

1. Déterminer le PGCD :
   Pour les décompositions :
   \[ 30 = 2 \times 3 \times 5 \quad \text{et} \quad 28 = 2^2 \times 7. \]
   Le seul facteur commun est \(2\), donc
   \[ \text{PGCD} = 2. \]

2. Diviser par 2 :
   \[ \frac{30}{28} = \frac{30 \div 2}{28 \div 2} = \frac{15}{14}. \]

La fraction irréductible est \(\frac{15}{14}\).

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4) Réduction de \(\frac{140}{126}\)

1. Déterminer le PGCD :
   En décomposant :
   \[ 140 = 2^2 \times 5 \times 7 \quad \text{et} \quad 126 = 2 \times 3^2 \times 7. \]
   Les facteurs communs sont \(2\) et \(7\), ainsi
   \[ \text{PGCD} = 2 \times 7 = 14. \]

2. Diviser par 14 :
   \[ \frac{140}{126} = \frac{140 \div 14}{126 \div 14} = \frac{10}{9}. \]

La fraction irréductible est \(\frac{10}{9}\).

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5) Réduction de \(\frac{77}{91}\)

1. Déterminer le PGCD :
   On a :
   \[ 77 = 7 \times 11 \quad \text{et} \quad 91 = 7 \times 13. \]
   Le facteur commun est \(7\), ainsi
   \[ \text{PGCD} = 7. \]

2. Diviser par 7 :
   \[ \frac{77}{91} = \frac{77 \div 7}{91 \div 7} = \frac{11}{13}. \]

La fraction irréductible est \(\frac{11}{13}\).

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6) Réduction de \(\frac{13}{26}\)

1. Déterminer le PGCD :
   Ici,
   \[ 13 \quad \text{et} \quad 26 = 2 \times 13. \]
   Le nombre \(13\) est commun, donc
   \[ \text{PGCD} = 13. \]

2. Diviser par \(13\) :
   \[ \frac{13}{26} = \frac{13 \div 13}{26 \div 13} = \frac{1}{2}. \]

La fraction irréductible est \(\frac{1}{2}\).

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Récapitulatif des réponses :

1. \(\frac{60}{42} = \frac{10}{7}\)
   
2. \(\frac{84}{90} = \frac{14}{15}\)
   
3. \(\frac{30}{28} = \frac{15}{14}\)
   
4. \(\frac{140}{126} = \frac{10}{9}\)
   
5. \(\frac{77}{91} = \frac{11}{13}\)
   
6. \(\frac{13}{26} = \frac{1}{2}\)

Chaque fraction a ainsi été simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.