Exercice 105

Complétez les égalités suivantes pour obtenir des fractions équivalentes :

1. \(\frac{24}{36} = \frac{\cdots}{21}\)

2. \(\frac{24}{30} = \frac{32}{\cdots}\)

3. \(\frac{27}{63} = \frac{\cdots}{77}\)

4. \(\frac{18}{\cdots} = \frac{24}{60}\)

Réponse

1. 14
   
2. 40
   
3. 33
   
4. 45

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des égalités :

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1) Compléter : \(\frac{24}{36} = \frac{\cdots}{21}\)

1. Simplification de la fraction initiale :
   On commence par simplifier \(\frac{24}{36}\).
   On peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(12\) (mais ici il est même plus simple de diviser par \(6\)) :
   \[ \frac{24}{36} = \frac{24 \div 6}{36 \div 6} = \frac{4}{6} \] Puis, simplifions encore en divisant par \(2\) : \[ \frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} \]

2. Recherche du numérateur manquant :
   On veut trouver un nombre \(x\) tel que : \[ \frac{2}{3} = \frac{x}{21} \] Pour cela, on égalise en multipliant en croix : \[ 3 \times x = 2 \times 21 \] \[ 3x = 42 \] \[ x = \frac{42}{3} = 14 \]

Réponse pour la première égalité :
\[ \frac{24}{36} = \frac{14}{21} \]

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2) Compléter : \(\frac{24}{30} = \frac{32}{\cdots}\)

1. Simplification de la fraction initiale :
   Simplifions \(\frac{24}{30}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par \(6\) : \[ \frac{24}{30} = \frac{24 \div 6}{30 \div 6} = \frac{4}{5} \]

2. Recherche du dénominateur manquant :
   On cherche un nombre \(y\) tel que : \[ \frac{4}{5} = \frac{32}{y} \] En multipliant en croix, on obtient : \[ 4 \times y = 5 \times 32 \] \[ 4y = 160 \] \[ y = \frac{160}{4} = 40 \]

Réponse pour la deuxième égalité :
\[ \frac{24}{30} = \frac{32}{40} \]

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3) Compléter : \(\frac{27}{63} = \frac{\cdots}{77}\)

1. Simplification de la fraction initiale :
   Divisons le numérateur et le dénominateur par \(9\) : \[ \frac{27}{63} = \frac{27 \div 9}{63 \div 9} = \frac{3}{7} \]

2. Recherche du numérateur manquant :
   On cherche un nombre \(z\) tel que : \[ \frac{3}{7} = \frac{z}{77} \] En multipliant en croix : \[ 7 \times z = 3 \times 77 \] \[ 7z = 231 \] \[ z = \frac{231}{7} = 33 \]

Réponse pour la troisième égalité :
\[ \frac{27}{63} = \frac{33}{77} \]

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4) Compléter : \(\frac{18}{\cdots} = \frac{24}{60}\)

1. Simplification de la fraction donnée à droite :
   Simplifions \(\frac{24}{60}\). On peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(12\) : \[ \frac{24}{60} = \frac{24 \div 12}{60 \div 12} = \frac{2}{5} \]

2. Recherche du dénominateur manquant :
   Soit \(w\) le dénominateur inconnu, on a : \[ \frac{18}{w} = \frac{2}{5} \] En multipliant en croix : \[ 2 \times w = 18 \times 5 \] \[ 2w = 90 \] \[ w = \frac{90}{2} = 45 \]

Réponse pour la quatrième égalité :
\[ \frac{18}{45} = \frac{24}{60} \]

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Récapitulatif des réponses :

1. \(\frac{24}{36} = \frac{14}{21}\)
   
2. \(\frac{24}{30} = \frac{32}{40}\)
   
3. \(\frac{27}{63} = \frac{33}{77}\)
   
4. \(\frac{18}{45} = \frac{24}{60}\)