Exercice 102

Exercice :

Donnez l’écriture décimale de chacune des fractions suivantes :

1. \(\frac{5}{6}\)
   
2. \(\frac{45}{8}\)
   
3. \(\frac{25}{7}\)
   
4. \(\frac{3}{5}\)
   
5. \(\frac{3}{25}\)
   
6. \(\frac{2}{3}\)
   
7. \(\frac{36}{3}\)
   
8. \(\frac{5}{11}\)

Ensuite, indiquez quelles écritures décimales sont périodiques et déterminez, pour chacune, la période.

Réponse

Voici le résumé :

1. 5/6 = 0,8̅3 → périodique
   
2. 45/8 = 5,625 → exact
   
3. 25/7 = 3,̅571428 → périodique
   
4. 3/5 = 0,6 → exact
   
5. 3/25 = 0,12 → exact
   
6. 2/3 = 0,̅6 → périodique
   
7. 36/3 = 12 → exact
   
8. 5/11 = 0,̅45 → périodique

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Exercice

On doit trouver l’écriture décimale de chaque fraction et préciser pour chacune si le développement est périodique (c’est-à-dire avec un groupe de chiffres qui se répète à l’identique) ou s’il est exact (c’est-à-dire s’arrête).

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1) \(\frac{5}{6}\)

Méthode :
Pour transformer \(\frac{5}{6}\) en décimal, on effectue la division de 5 par 6.

• 6 ne va pas dans 5, on place donc la virgule et on considère 50.
• \(6 \times 8 = 48\). Reste : \(50 - 48 = 2\).
• On abaisse un 0 : le reste devient 20.
• \(6 \times 3 = 18\). Reste : \(20 - 18 = 2\).

On remarque que le reste 2 revient, ce qui implique que le chiffre 3 se répète.

Résultat : \[ \frac{5}{6} = 0,8\overline{3} \]

Conclusion :
L’écriture décimale est périodique car le chiffre qui se répète est \(3\) (période \(\overline{3}\), de longueur 1).

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2) \(\frac{45}{8}\)

Méthode :
Divisons 45 par 8.

• \(8 \times 5 = 40\). Reste : \(45 - 40 = 5\).
• On ajoute la virgule et abaisse un 0 au reste : 50.
• \(8 \times 6 = 48\). Reste : \(50 - 48 = 2\).
• Abaissez un autre 0 : 20.
• \(8 \times 2 = 16\). Reste : \(20 - 16 = 4\).
• Abaissez un 0 : 40.
• \(8 \times 5 = 40\). Reste : \(40 - 40 = 0\).

La division se termine.

Résultat : \[ \frac{45}{8} = 5,625 \]

Conclusion :
L’écriture décimale est exacte (terminée) et non périodique.

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3) \(\frac{25}{7}\)

Méthode :
Éffectuons la division de 25 par 7.

1. \(7\) va dans \(25\) : \(7 \times 3 = 21\). Reste : \(25 - 21 = 4\).
   La partie entière est 3.

2. On place la virgule et abaisse un 0 au reste : 40.
   \(7 \times 5 = 35\). Reste : \(40 - 35 = 5\).

3. Abaissez un 0 : 50.
   \(7 \times 7 = 49\). Reste : \(50 - 49 = 1\).

4. Abaissez un 0 : 10.
   \(7 \times 1 = 7\). Reste : \(10 - 7 = 3\).

5. Abaissez un 0 : 30.
   \(7 \times 4 = 28\). Reste : \(30 - 28 = 2\).

6. Abaissez un 0 : 20.
   \(7 \times 2 = 14\). Reste : \(20 - 14 = 6\).

7. Abaissez un 0 : 60.
   \(7 \times 8 = 56\). Reste : \(60 - 56 = 4\).

On retrouve le reste 4, qui était déjà apparu après la première division (lorsque nous avons eu 25 - 21). Cela signifie que les chiffres obtenus après la virgule vont se répéter.

Les chiffres obtenus sont dans l’ordre : 5, 7, 1, 4, 2, 8 puis de nouveau 5, etc.

Résultat : \[ \frac{25}{7} = 3,\overline{571428} \]

Conclusion :
L’écriture décimale est périodique avec la période \(571428\) (longueur 6).

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4) \(\frac{3}{5}\)

Méthode :
Divisons 3 par 5.

• Comme 5 ne va pas dans 3, on écrit 0, puis la virgule.
• On abaisse un 0 : 30.
  \(5 \times 6 = 30\). Reste : \(30-30=0\).

Résultat : \[ \frac{3}{5} = 0,6 \]

Conclusion :
L’écriture décimale est exacte (terminée) et n’est pas périodique.

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5) \(\frac{3}{25}\)

Méthode :
Divisons 3 par 25.

• 25 ne va pas dans 3, on écrit 0, puis la virgule.
• Abaissez un 0 : 30.
  \(25 \times 1 = 25\). Reste : \(30 - 25 = 5\).
• Abaissez un autre 0 : 50.
  \(25 \times 2 = 50\). Reste : \(50 - 50 = 0\).

Résultat : \[ \frac{3}{25} = 0,12 \]

Conclusion :
L’écriture décimale est exacte (terminée) et non périodique.

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6) \(\frac{2}{3}\)

Méthode :
Divisons 2 par 3.

• \(3\) dans \(2\) ne rentre pas, donc on écrit 0, puis on place la virgule.
• Abaissez un 0 : 20.
  \(3 \times 6 = 18\). Reste : \(20 - 18 = 2\).

On remarque que le reste 2 se reproduit à chaque étape, ce qui indique que le chiffre 6 se répète sans cesse.

Résultat : \[ \frac{2}{3} = 0,\overline{6} \]

Conclusion :
L’écriture décimale est périodique avec le chiffre \(6\) qui se répète (période de longueur 1).

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7) \(\frac{36}{3}\)

Méthode :
Divisons 36 par 3.

• \(3 \times 12 = 36\).
  Reste : \(36 - 36 = 0\).

Résultat : \[ \frac{36}{3} = 12 \]

Conclusion :
L’écriture décimale est exacte (c’est un nombre entier) et n’est pas périodique.

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8) \(\frac{5}{11}\)

Méthode :
Divisons 5 par 11.

1. Comme 11 ne rentre pas dans 5, on écrit 0, puis la virgule.
2. Abaissez un 0 : 50.
   \(11 \times 4 = 44\). Reste : \(50 - 44 = 6\).
3. Abaissez un 0 : 60.
   \(11 \times 5 = 55\). Reste : \(60 - 55 = 5\).

Ici, le reste 5 apparaît à nouveau, ce qui signifie que le motif va se répéter.

Les chiffres obtenus après la virgule sont : 4 puis 5, puis à nouveau 4 puis 5, etc.

Résultat : \[ \frac{5}{11} = 0,\overline{45} \]

Conclusion :
L’écriture décimale est périodique avec la période \(45\) (longueur 2).

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Récapitulatif

1. \(\frac{5}{6} = 0,8\overline{3}\) → périodique (période : \(3\))
   
2. \(\frac{45}{8} = 5,625\) → exact, non périodique
   
3. \(\frac{25}{7} = 3,\overline{571428}\) → périodique (période : \(571428\))
   
4. \(\frac{3}{5} = 0,6\) → exact, non périodique
   
5. \(\frac{3}{25} = 0,12\) → exact, non périodique
   
6. \(\frac{2}{3} = 0,\overline{6}\) → périodique (période : \(6\))
   
7. \(\frac{36}{3} = 12\) → exact, non périodique
   
8. \(\frac{5}{11} = 0,\overline{45}\) → périodique (période : \(45\))

Chaque étape de la division a été réalisée en examinant le reste afin de déterminer si une suite de chiffres se répète ou si la division s’arrête.

Cette correction pas à pas vous permet de comprendre comment transformer une fraction en nombre décimal et identifier les périodicités lorsque cela se produit.