Exercice 101
Exercice
Écrire chacune des fractions suivantes sous forme décimale :
- \(\frac{5}{9}\)
- \(\frac{36}{5}\)
- \(\frac{27}{4}\)
- \(\frac{4}{11}\)
- \(\frac{26}{13}\)
- \(\frac{5}{3}\)
- \(\frac{17}{12}\)
- \(\frac{6}{7}\)
Parmi ces écritures décimales, indiquer celles qui sont périodiques
et déterminer leur période.
Réponse
Voici le résumé très court des résultats :
• 5/9 = 0, ̅5
• 36/5 = 7,2
• 27/4 = 6,75
• 4/11 = 0, ̅36
• 26/13 = 2
• 5/3 = 1, ̅6
• 17/12 = 1,41 ̅6
• 6/7 = 0, ̅857142
Corrigé détaillé
Nous allons transformer chacune des fractions en écriture décimale en
réalisant la division (souvent à la main) et déterminer si l’écriture se
termine ou se répète. Voici le détail pour chaque fraction.
1) \(\frac{5}{9}\)
Étapes :
- On divise \(5\) par \(9\). Comme \(5
< 9\), on place une virgule et on considère \(50\) (on ajoute un zéro).
- \(50 \div 9 = 5\) (car \(9 \times 5 = 45\)) et il reste \(50-45=5\).
- On remarque que le reste est à nouveau \(5\), ce qui donne le même résultat à
l’étape suivante.
Conclusion :
\[
\frac{5}{9} = 0,\overline{5}
\]
La partie décimale « 5 » se répète. La période est donc « 5 ».
2) \(\frac{36}{5}\)
Étapes :
- \(36 \div 5 = 7\) avec un reste de
\(36 - 5 \times 7 = 1\).
- Pour la partie décimale, on ajoute une virgule et un zéro au reste
\(1\) pour obtenir \(10\).
- \(10 \div 5 = 2\) exactement, sans
reste.
Conclusion :
\[
\frac{36}{5} = 7,2
\]
Cette écriture décimale est exacte (terminée).
3) \(\frac{27}{4}\)
Étapes :
- \(27 \div 4 = 6\) avec un reste
\(27 - 4 \times 6 = 3\).
- Pour la partie décimale, on considère \(30\) (après avoir ajouté la virgule et un
zéro).
- \(30 \div 4 = 7\) (car \(4 \times 7 = 28\)) avec reste \(30 - 28 = 2\).
- On ajoute un autre zéro au reste \(2\) pour former \(20\).
- \(20 \div 4 = 5\) exactement.
Conclusion :
\[
\frac{27}{4} = 6,75
\]
L’écriture décimale se termine.
4) \(\frac{4}{11}\)
Étapes :
- \(4 < 11\) donc on écrit \(0,\) puis on ajoute un zéro : \(40 \div 11 = 3\) (car \(11 \times 3 = 33\)) avec reste \(40 - 33 = 7\).
- On ramène un zéro : \(70 \div 11 =
6\) (car \(11 \times 6 = 66\))
avec reste \(70 - 66 = 4\).
- Le reste \(4\) revient, ce qui
relance le même schéma.
Conclusion :
\[
\frac{4}{11} = 0,\overline{36}
\]
La période est « 36 » (deux chiffres).
5) \(\frac{26}{13}\)
Étapes :
- \(13\) divise \(26\) exactement : \(26 \div 13 = 2\).
- Il n’y a pas de reste significatif pour la partie décimale.
Conclusion :
\[
\frac{26}{13} = 2
\]
L’écriture décimale se termine (elle est entière).
6) \(\frac{5}{3}\)
Étapes :
- \(5 \div 3 = 1\) avec un reste
\(5 - 3 = 2\).
- On ajoute la virgule et un zéro : \(20
\div 3 = 6\) (car \(3 \times 6 =
18\)) avec reste \(20 - 18 =
2\).
- Le reste \(2\) se répète.
Conclusion :
\[
\frac{5}{3} = 1,\overline{6}
\]
La période est « 6 » (un seul chiffre).
7) \(\frac{17}{12}\)
Étapes :
- Division entière : \(17 \div 12 =
1\) avec reste \(17 - 12 =
5\).
- Pour la partie décimale, on considère \(50
\div 12\):
- \(50 \div 12 = 4\) (car \(12 \times 4 = 48\)) avec reste \(50 - 48 = 2\).
- On multiplie le reste \(2\) par
\(10\) pour obtenir \(20 \div 12\):
- \(20 \div 12 = 1\) avec reste \(20 - 12 = 8\).
- On continue avec \(8\) : \(80 \div 12 = 6\) (car \(12 \times 6 = 72\)) avec reste \(80-72=8\).
Le reste \(8\) se répète à ce
stade.
Conclusion :
\[
\frac{17}{12} = 1,41\overline{6}
\]
La partie périodique est « 6 » (un seul chiffre).
8) \(\frac{6}{7}\)
Étapes :
- Comme \(6 < 7\), nous écrivons
\(0,\) et ajoutons un zéro : \(60 \div 7 = 8\) car \(7 \times 8 = 56\) avec reste \(60-56=4\).
- Ramener un zéro sur le reste \(4\)
: \(40 \div 7 = 5\) (car \(7 \times 5 = 35\)) avec reste \(40-35=5\).
- Continuer : \(50 \div 7 = 7\) (car
\(7 \times 7 = 49\)) avec reste \(50-49=1\).
- Ensuite : \(10 \div 7 = 1\) (car
\(7 \times 1 = 7\)) avec reste \(10-7=3\).
- Puis : \(30 \div 7 = 4\) (car \(7 \times 4 = 28\)) avec reste \(30-28=2\).
- Puis : \(20 \div 7 = 2\) (car \(7 \times 2 = 14\)) avec reste \(20-14=6\).
- Le reste \(6\) est revenu, et le
cycle recommence.
Les chiffres obtenus après la virgule sont : 8, 5, 7, 1, 4, 2 puis le
cycle se répète.
Conclusion :
\[
\frac{6}{7} = 0,\overline{857142}
\]
La période est « 857142 » (6 chiffres).
Récapitulatif
- \(\frac{5}{9} =
0,\overline{5}\) (Périodique, période « 5 »)
- \(\frac{36}{5} =
7,2\) (Terminée)
- \(\frac{27}{4} =
6,75\) (Terminée)
- \(\frac{4}{11} =
0,\overline{36}\) (Périodique, période « 36 »)
- \(\frac{26}{13} =
2\) (Terminée)
- \(\frac{5}{3} =
1,\overline{6}\) (Périodique, période « 6 »)
- \(\frac{17}{12} =
1,41\overline{6}\) (Périodique, période « 6 »)
- \(\frac{6}{7} =
0,\overline{857142}\) (Périodique, période « 857142 »)
Chaque fraction a ainsi été transformée en écriture décimale et nous
avons identifié celles qui se répètent en précisant la période
correspondante.