Exercice 100

Exercice

Pour chacune des fractions suivantes, donner son écriture décimale :

\(\frac{3}{8}\)
\(\frac{42}{5}\)
\(\frac{63}{25}\)
\(\frac{25}{6}\)
\(\frac{4}{7}\)
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{8}{13}\)
\(\frac{12}{11}\)

Indiquez également, parmi ces écritures décimales, celles qui présentent une suite périodique et précisez la période correspondante.

Réponse

Voici le résumé très court des résultats :

3/8 = 0,375
42/5 = 8,4
63/25 = 2,52
25/6 = 4,1̅6
4/7 = 0,̅571428
1/3 = 0,̅3
8/13 = 0,̅615384
12/11 = 1,̅09

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice avec une explication pas à pas pour chacune des fractions :

1) Conversion de \(\frac{3}{8}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Effectuer la division de 3 par 8.

\[ 3 \div 8 = 0,375 \]

Explication :
- On ajoute des zéros après la virgule pour effectuer la division (3 devient 3,000).
- La division se termine lorsque le reste devient zéro.

Conclusion :
\(\frac{3}{8} = 0,375\) (écriture décimale exacte terminante).

2) Conversion de \(\frac{42}{5}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Diviser 42 par 5.

\[ 42 \div 5 = 8,4 \]

Explication :
- 5 va dans 42 exactement 8 fois (8 × 5 = 40) avec un reste de 2.
- En ajoutant une virgule et un zéro, \(2 \rightarrow 20\) et \(20 \div 5 = 4\).

Conclusion :
\(\frac{42}{5} = 8,4\) (écriture décimale terminante).

3) Conversion de \(\frac{63}{25}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Diviser 63 par 25.

\[ 63 \div 25 = 2,52 \]

Explication :
- 25 va dans 63 deux fois (2 × 25 = 50) avec un reste de 13.
- On continue la division en ajoutant des zéros : 13 devient 130 et \(130 \div 25 = 5\) (puis reste 5), puis 50 divisé par 25 donne 2.
- À noter que la division se termine ici après quelques étapes de calcul, ce qui confirme l’écriture exacte.

Conclusion :
\(\frac{63}{25} = 2,52\) (écriture décimale terminante).

4) Conversion de \(\frac{25}{6}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Diviser 25 par 6.

6 va dans 25 quatre fois (4 × 6 = 24) avec un reste de 1.

Étape 2 :
Continuer la division après la virgule avec le reste 1 :

On ajoute un zéro : \(10 \div 6 = 1\) (puis reste 4).
Ensuite, \(40 \div 6 = 6\) (puis reste 4).

Observation :
Dès que le reste se répète (ici 4 apparaît de nouveau), la suite décimale se répète.

Conclusion :
\(\frac{25}{6} = 4,1\overline{6}\)

La périodicité apparaît avec la répétition de la partie “6”. La période est donc :
Période : \(6\).

5) Conversion de \(\frac{4}{7}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Diviser 4 par 7 en posant la division longue.

Déroulement de la division :
- \(4 \div 7 = 0\) (reste 4).
- En ajoutant la virgule, on écrit 4,000…
- \(40 \div 7 = 5\) (5 × 7 = 35, reste 5).
- \(50 \div 7 = 7\) (7 × 7 = 49, reste 1).
- \(10 \div 7 = 1\) (1 × 7 = 7, reste 3).
- \(30 \div 7 = 4\) (4 × 7 = 28, reste 2).
- \(20 \div 7 = 2\) (2 × 7 = 14, reste 6).
- \(60 \div 7 = 8\) (8 × 7 = 56, reste 4).

À ce moment, on remarque que le reste 4 réapparaît, ce qui signifie que la séquence va se répéter.

Compilation du quotient :

\[ 0,571428\,571428\,\ldots \]

Conclusion :
\(\frac{4}{7} = 0,\overline{571428}\)

La suite décimale se répète de manière périodique avec la période :
Période : \(571428\).

6) Conversion de \(\frac{1}{3}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Diviser 1 par 3 :

\[ 1 \div 3 = 0,3333\ldots \]

Observation :
- À chaque étape, le reste est 1, ce qui fait que le chiffre 3 se répète indéfiniment.

Conclusion :
\(\frac{1}{3} = 0,\overline{3}\)

Période : \(3\).

7) Conversion de \(\frac{8}{13}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Diviser 8 par 13 à l’aide d’une division longue.

Déroulement (résumé des étapes) :
- En effectuant la division, on trouve :

\[ 8 \div 13 = 0,615384615384\ldots \]

Observation :
- On constate que la suite “615384” se répète régulièrement.

Conclusion :
\(\frac{8}{13} = 0,\overline{615384}\)

La période est :
Période : \(615384\).

8) Conversion de \(\frac{12}{11}\) en écriture décimale

Étape 1 :
Diviser 12 par 11 :

11 va dans 12 une fois (1 × 11 = 11) avec un reste de 1.

Étape 2 :
Procéder à la division après la virgule :

Ajouter un zéro au reste : \(10 \div 11 = 0\) (reste 10).
Ajouter un autre zéro : \(100 \div 11 = 9\) (9 × 11 = 99, reste 1).

Observation :
Le reste 1 revient, ce qui montre que la séquence décimale recommence.

Compilation du quotient :

\[ 1,09\,09\,09\ldots \]

Conclusion :
\(\frac{12}{11} = 1,0\overline{9}\)

Il est aussi courant d’écrire cette fraction sous la forme :

\(\frac{12}{11} = 1,\overline{09}\)

La période est :
Période : \(09\).

Récapitulatif des résultats

\(\frac{3}{8} = 0,375\)
- Écriture décimale terminante.
\(\frac{42}{5} = 8,4\)
- Écriture décimale terminante.
\(\frac{63}{25} = 2,52\)
- Écriture décimale terminante.
\(\frac{25}{6} = 4,1\overline{6}\)
- Suite périodique. Période : \(6\).
\(\frac{4}{7} = 0,\overline{571428}\)
- Suite périodique. Période : \(571428\).
\(\frac{1}{3} = 0,\overline{3}\)
- Suite périodique. Période : \(3\).
\(\frac{8}{13} = 0,\overline{615384}\)
- Suite périodique. Période : \(615384\).
\(\frac{12}{11} = 1,\overline{09}\)
- Suite périodique. Période : \(09\).

Cette démarche détaillée permet de comprendre comment passer de la fraction à son écriture décimale et d’identifier les parties qui se répètent. Chaque étape repose sur la division longue, où l’apparition d’un reste déjà rencontré signale le début d’une période dans la suite décimale.