Exercice 99

Soit chacune des fractions suivantes. Pour chacune, déterminez :

1. Son opposé
   
2. Son inverse

Les fractions à considérer sont :

1. \(-\frac{1}{3}\)
   
2. \(+\frac{5}{3}\)
   
3. \(+\frac{5}{6}\)
   
4. \(-\frac{4}{7}\)
   
5. \(+6\)
   
6. \(+\frac{1}{2}\)
   
7. \(-\frac{2}{9}\)
   
8. \(-\frac{3}{4}\)

Réponse

Voici le résumé très court :

1. Pour –1/3 : opposé = 1/3 et inverse = –3
   
2. Pour +5/3 : opposé = –5/3 et inverse = 3/5
   
3. Pour +5/6 : opposé = –5/6 et inverse = 6/5
   
4. Pour –4/7 : opposé = 4/7 et inverse = –7/4
   
5. Pour +6 : opposé = –6 et inverse = 1/6
   
6. Pour +1/2 : opposé = –1/2 et inverse = 2
   
7. Pour –2/9 : opposé = 2/9 et inverse = –9/2
   
8. Pour –3/4 : opposé = 3/4 et inverse = –4/3

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des fractions :

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Notions de base

1. L’opposé d’un nombre
   Pour trouver l’opposé d’un nombre, on change simplement son signe.
   \[ \text{Si } x \text{ est un nombre, alors son opposé est } -x. \]

2. L’inverse d’un nombre
   L’inverse d’un nombre \(x\) (différent de zéro) est le nombre qui, multiplié par \(x\), donne \(1\).
   Pour une fraction \(\frac{a}{b}\), son inverse est \(\frac{b}{a}\). Autrement dit :
   \[ \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}. \]

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Exercices

1) Pour \(-\frac{1}{3}\)

• Opposé
  On change le signe :
  \[ -\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}. \]

• Inverse
  On échange le numérateur et le dénominateur tout en gardant le signe :
  \[ \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -\frac{3}{1} = -3. \]

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2) Pour \(+\frac{5}{3}\)

• Opposé
  \[ -\frac{5}{3}. \]

• Inverse
  On échange le numérateur et le dénominateur :
  \[ \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}. \]

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3) Pour \(+\frac{5}{6}\)

• Opposé
  \[ -\frac{5}{6}. \]

• Inverse
  \[ \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{6}{5}. \]

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4) Pour \(-\frac{4}{7}\)

• Opposé
  \[ -\left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{4}{7}. \]

• Inverse
  \[ \frac{1}{-\frac{4}{7}} = -\frac{7}{4}. \]

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5) Pour \(+6\)

On peut écrire \(6\) sous forme fractionnaire : \(6 = \frac{6}{1}\).

• Opposé
  \[ -6. \]

• Inverse
  \[ \frac{1}{6} \quad \text{(ou en fraction, } \frac{1}{6}\text{)}. \]

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6) Pour \(+\frac{1}{2}\)

• Opposé
  \[ -\frac{1}{2}. \]

• Inverse
  \[ \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{1} = 2. \]

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7) Pour \(-\frac{2}{9}\)

• Opposé
  \[ -\left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{2}{9}. \]

• Inverse
  \[ \frac{1}{-\frac{2}{9}} = -\frac{9}{2}. \]

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8) Pour \(-\frac{3}{4}\)

• Opposé
  \[ -\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}. \]

• Inverse
  \[ \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}. \]

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Récapitulatif des réponses

1. Pour \(-\frac{1}{3}\)
   • Opposé : \(\frac{1}{3}\)
     
   • Inverse : \(-3\)
2. Pour \(+\frac{5}{3}\)
   • Opposé : \(-\frac{5}{3}\)
     
   • Inverse : \(\frac{3}{5}\)
3. Pour \(+\frac{5}{6}\)
   • Opposé : \(-\frac{5}{6}\)
     
   • Inverse : \(\frac{6}{5}\)
4. Pour \(-\frac{4}{7}\)
   • Opposé : \(\frac{4}{7}\)
     
   • Inverse : \(-\frac{7}{4}\)
5. Pour \(+6\)
   • Opposé : \(-6\)
     
   • Inverse : \(\frac{1}{6}\)
6. Pour \(+\frac{1}{2}\)
   • Opposé : \(-\frac{1}{2}\)
     
   • Inverse : \(2\)
7. Pour \(-\frac{2}{9}\)
   • Opposé : \(\frac{2}{9}\)
     
   • Inverse : \(-\frac{9}{2}\)
8. Pour \(-\frac{3}{4}\)
   • Opposé : \(\frac{3}{4}\)
     
   • Inverse : \(-\frac{4}{3}\)

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Chaque étape consiste à appliquer simplement la définition de l’opposé et de l’inverse. Si un nombre est déjà sous forme fractionnaire, comme \(\frac{a}{b}\), on change le signe pour l’opposé et on inverse \(a\) et \(b\) pour obtenir l’inverse (en gardant le signe global du nombre).

Cette méthode vous permettra de traiter tout autre exercice similaire.