Exercice 84

Exercice :

Déterminez le plus petit dénominateur commun pour chacune des paires de fractions suivantes :

1. \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{5}{8}\)
2. \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{2}{3}\)
3. \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{1}{6}\)
4. \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{3}{10}\)
5. \(\frac{5}{12}\) et \(\frac{1}{24}\)
6. \(\frac{2}{9}\) et \(\frac{7}{15}\)

Réponse

Réponses : 1. Pour 1/6 et 5/8 : 24
2. Pour 1/2 et 2/3 : 6
3. Pour 3/4 et 1/6 : 12
4. Pour 1/5 et 3/10 : 10
5. Pour 5/12 et 1/24 : 24
6. Pour 2/9 et 7/15 : 45

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour déterminer le plus petit dénominateur commun (PDC) des paires de fractions.

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Rappel de la méthode

Pour trouver le PDC de deux fractions, on cherche le plus petit nombre qui est divisible par chacun des dénominateurs. Une méthode efficace consiste à décomposer chaque dénominateur en facteurs premiers et de prendre, pour chaque facteur premier, la plus grande puissance apparaissant dans l’un ou l’autre des dénominateurs. Le produit de ces facteurs nous donnera le PDC.

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1. Pour les fractions \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{5}{8}\)

• Dénominateurs : 6 et 8.
• Décomposition en facteurs premiers :
  • \(6 = 2 \times 3\)
  • \(8 = 2^3\)
• Étapes :
  • Pour le facteur 2, on prend \(2^3\) (car \(2^3\) est dans 8).
  • Pour le facteur 3, on a \(3^1\).
  • Calcul du PDC : \(2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24\).

Résultat : Le plus petit dénominateur commun est 24.

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2. Pour les fractions \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{2}{3}\)

• Dénominateurs : 2 et 3.
• Décomposition en facteurs premiers :
  • \(2 = 2\)
  • \(3 = 3\)
• Étapes :
  • Les facteurs sont distincts, on multiplie donc directement 2 et 3.
  • Calcul du PDC : \(2 \times 3 = 6\).

Résultat : Le plus petit dénominateur commun est 6.

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3. Pour les fractions \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{1}{6}\)

• Dénominateurs : 4 et 6.
• Décomposition en facteurs premiers :
  • \(4 = 2^2\)
  • \(6 = 2 \times 3\)
• Étapes :
  • Pour le facteur 2, on prend \(2^2\).
  • Pour le facteur 3, on a \(3^1\).
  • Calcul du PDC : \(2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\).

Résultat : Le plus petit dénominateur commun est 12.

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4. Pour les fractions \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{3}{10}\)

• Dénominateurs : 5 et 10.
• Décomposition en facteurs premiers :
  • \(5 = 5\)
  • \(10 = 2 \times 5\)
• Étapes :
  • Pour le facteur 2, on obtient \(2^1\) (présent dans 10).
  • Pour le facteur 5, on a \(5^1\).
  • Calcul du PDC : \(2 \times 5 = 10\).

Résultat : Le plus petit dénominateur commun est 10.

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5. Pour les fractions \(\frac{5}{12}\) et \(\frac{1}{24}\)

• Dénominateurs : 12 et 24.
• Décomposition en facteurs premiers :
  • \(12 = 2^2 \times 3\)
  • \(24 = 2^3 \times 3\)
• Étapes :
  • Pour le facteur 2, on prend \(2^3\) (car présent dans 24).
  • Pour le facteur 3, on a \(3^1\).
  • Calcul du PDC : \(2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24\).

Résultat : Le plus petit dénominateur commun est 24.

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6. Pour les fractions \(\frac{2}{9}\) et \(\frac{7}{15}\)

• Dénominateurs : 9 et 15.
• Décomposition en facteurs premiers :
  • \(9 = 3^2\)
  • \(15 = 3 \times 5\)
• Étapes :
  • Pour le facteur 3, on prend \(3^2\) (car \(3^2\) est dans 9).
  • Pour le facteur 5, on a \(5^1\).
  • Calcul du PDC : \(3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45\).

Résultat : Le plus petit dénominateur commun est 45.

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Conclusion

Voici un récapitulatif des résultats :

1. \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{5}{8}\) : 24
   
2. \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{2}{3}\) : 6
   
3. \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{1}{6}\) : 12
   
4. \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{3}{10}\) : 10
   
5. \(\frac{5}{12}\) et \(\frac{1}{24}\) : 24
   
6. \(\frac{2}{9}\) et \(\frac{7}{15}\) : 45

Chaque étape vous aide à comprendre comment décomposer les dénominateurs et comment combiner les facteurs pour obtenir le plus petit multiple commun.