Exercice 82

Exercice :

Pour chacune des fractions, trouver deux entiers consécutifs entre lesquels la fraction se situe :

1. \(\frac{43}{7}\)
   
2. \(\frac{58}{9}\)
   
3. \(\frac{29}{3}\)
   
4. \(\frac{153}{10}\)
   
5. \(\frac{7}{3}\)
   
6. \(\frac{20}{7}\)
   
7. \(\frac{14}{9}\)
   
8. \(\frac{6}{13}\)

Réponse

1. 43/7 est entre 6 et 7.
   
2. 58/9 est entre 6 et 7.
   
3. 29/3 est entre 9 et 10.
   
4. 153/10 est entre 15 et 16.
   
5. 7/3 est entre 2 et 3.
   
6. 20/7 est entre 2 et 3.
   
7. 14/9 est entre 1 et 2.
   
8. 6/13 est entre 0 et 1.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs étapes pour chaque fraction :

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Rappel de la méthode

Pour trouver deux entiers consécutifs entre lesquels se situe une fraction, on peut :

1. Calculer la valeur de la fraction en effectuant la division du numérateur par le dénominateur.
2. Identifier l’entier inférieur (la partie entière) et l’entier supérieur (la partie entière plus 1).

Si une fraction vaut par exemple \(x\) (avec \(x\) décimal), alors on a :
\[ n < x < n+1 \quad \text{où} \quad n=\lfloor x \rfloor. \]

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1) Pour \(\frac{43}{7}\)

• Calcul :
  Divisons 43 par 7 :
  \[ 7 \times 6 = 42 \quad \text{et il reste } 43 - 42 = 1. \] Donc,
  \[ \frac{43}{7} = 6 + \frac{1}{7} \approx 6,14. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(6\) et \(7\).

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2) Pour \(\frac{58}{9}\)

• Calcul :
  Divisons 58 par 9 :
  \[ 9 \times 6 = 54 \quad \text{et il reste } 58 - 54 = 4. \] On a alors :
  \[ \frac{58}{9} = 6 + \frac{4}{9} \approx 6,44. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(6\) et \(7\).

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3) Pour \(\frac{29}{3}\)

• Calcul :
  Divisons 29 par 3 :
  \[ 3 \times 9 = 27 \quad \text{et il reste } 29 - 27 = 2. \] On obtient :
  \[ \frac{29}{3} = 9 + \frac{2}{3} \approx 9,67. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(9\) et \(10\).

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4) Pour \(\frac{153}{10}\)

• Calcul :
  Divisons 153 par 10 :
  \[ 10 \times 15 = 150 \quad \text{et il reste } 153 - 150 = 3. \] Ainsi :
  \[ \frac{153}{10} = 15 + \frac{3}{10} = 15,3. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(15\) et \(16\).

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5) Pour \(\frac{7}{3}\)

• Calcul :
  Divisons 7 par 3 :
  \[ 3 \times 2 = 6 \quad \text{et il reste } 7 - 6 = 1. \] On a :
  \[ \frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3} \approx 2,33. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(2\) et \(3\).

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6) Pour \(\frac{20}{7}\)

• Calcul :
  Divisons 20 par 7 :
  \[ 7 \times 2 = 14 \quad \text{et il reste } 20 - 14 = 6. \] On peut écrire :
  \[ \frac{20}{7} = 2 + \frac{6}{7} \approx 2,86. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(2\) et \(3\).

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7) Pour \(\frac{14}{9}\)

• Calcul :
  Divisons 14 par 9 :
  \[ 9 \times 1 = 9 \quad \text{et il reste } 14 - 9 = 5. \] Ainsi :
  \[ \frac{14}{9} = 1 + \frac{5}{9} \approx 1,56. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(1\) et \(2\).

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8) Pour \(\frac{6}{13}\)

• Calcul :
  Divisons 6 par 13 :
  Ici, \(6\) est inférieur à \(13\), donc le quotient est inférieur à \(1\).
  On a :
  \[ \frac{6}{13} \approx 0,46. \]

• Conclusion :
  La fraction se situe entre \(0\) et \(1\).

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Récapitulatif des résultats

1. \(\frac{43}{7}\) se situe entre \(6\) et \(7\).
   
2. \(\frac{58}{9}\) se situe entre \(6\) et \(7\).
   
3. \(\frac{29}{3}\) se situe entre \(9\) et \(10\).
   
4. \(\frac{153}{10}\) se situe entre \(15\) et \(16\).
   
5. \(\frac{7}{3}\) se situe entre \(2\) et \(3\).
   
6. \(\frac{20}{7}\) se situe entre \(2\) et \(3\).
   
7. \(\frac{14}{9}\) se situe entre \(1\) et \(2\).
   
8. \(\frac{6}{13}\) se situe entre \(0\) et \(1\).

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Chaque étape utilise une division pour déterminer la partie entière de la fraction, ce qui nous permet ensuite de déterminer les deux entiers consécutifs directement. Cette méthode est simple et efficace pour ce type d’exercice.