Pour chacune des paires de fractions suivantes, déterminez laquelle est la plus grande :
1/7 > 1/12, 3/5 > 3/8, 2/7 > 2/12, 5/4 > 4/5, 8/9 > 1/72, et 7/6 > 14/27.
Nous allons comparer les fractions deux à deux étape par étape. L’idée générale est que :
Étape 1 : Les numérateurs sont identiques (\(1\) et \(1\)).
Étape 2 : On compare les dénominateurs.
- \(7\) est plus petit que \(12\).
Conclusion :
\[
\frac{1}{7} > \frac{1}{12}
\]
Étape 1 : Les numérateurs sont également identiques (\(3\) et \(3\)).
Étape 2 : On compare les dénominateurs.
- \(5\) est plus petit que \(8\).
Conclusion :
\[
\frac{3}{5} > \frac{3}{8}
\]
Étape 1 : Les fractions ont le même numérateur (\(2\)).
Étape 2 : On compare les dénominateurs.
- \(7\) est plus petit que \(12\).
Conclusion :
\[
\frac{2}{7} > \frac{2}{12}
\]
Ici, les fractions n’ont ni le même numérateur ni le même dénominateur, nous utilisons alors la multiplication croisée.
Étape 1 : On met en place la multiplication croisée : \[ \frac{4}{5} ? \frac{5}{4} \quad \Longrightarrow \quad 4 \times 4 \quad \text{et} \quad 5 \times 5 \]
Étape 2 : Calcul : - \(4 \times 4 = 16\) - \(5 \times 5 = 25\)
Étape 3 : Puisque \(25 > 16\), alors : \[ \frac{5}{4} > \frac{4}{5} \]
Étape 1 : On peut remarquer que \(\frac{1}{72}\) est très petit, mais justifions cela par le calcul ou la logique.
Méthode par le raisonnement : - Pour \(\frac{8}{9}\), si l’on effectue la division, on obtient environ \(0{,}89\). - Pour \(\frac{1}{72}\), la valeur obtenue est environ \(0{,}014\).
Conclusion : \[ \frac{8}{9} > \frac{1}{72} \]
Pour ces fractions, nous utiliserons la multiplication croisée.
Étape 1 : On compare : \[ \frac{7}{6} ? \frac{14}{27} \] multiplions en croix : \[ 7 \times 27 \quad \text{et} \quad 14 \times 6 \]
Étape 2 : Calcul : - \(7 \times 27 = 189\) - \(14 \times 6 = 84\)
Étape 3 : Comme \(189 > 84\), cela signifie que : \[ \frac{7}{6} > \frac{14}{27} \]
Ainsi, pour chacune des paires, nous avons déterminé la fraction la plus grande.