Exercice 68

Exercice

Corrige le travail de Sophie. Pour chacune des opérations suivantes, indique un \(\checkmark\) si la réponse proposée est correcte ou donne la bonne réponse si elle est fausse.

\(\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20}\)
\(\displaystyle \frac{3}{7} + \frac{5}{2} = \frac{8}{9}\)
\(\displaystyle \frac{5}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{21}{80}\)
\(\displaystyle \frac{7}{10} - \frac{3}{5} = \frac{1}{10}\)
\(\displaystyle \left(-\frac{6}{13}\right) \cdot \frac{3}{2} = -\frac{9}{13}\)
\(\displaystyle \left(-\frac{2}{7}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{6}{35}\)
\(\displaystyle -\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{1}{20}\)
\(\displaystyle 8 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{6}{8}\right) = -4,5\)

Effectue mentalement les calculs suivants :

\(15,6 \cdot 10 =\)
\(0,32 \cdot 500 =\)
\(45 \cdot 0,2 =\)
\(720,5 \cdot 0,01 =\)
\(15,6 \div 10 =\)
\(0,32 \div 500 =\)
\(45 \div 0,2 =\)
\(720,5 \div 0,01 =\)

Écris l’expression suivante au moyen d’une seule opération :

\[ 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \]

Complète l’égalité suivante :

\[ 81 = 3^{\,\square} \]

Un carré a un côté mesurant \(6,8\ \mathrm{cm}\). Écris l’opération permettant de calculer son aire.
Un carré a une aire de \(49\ \mathrm{m}^2\). Quelle est la mesure de son côté ?

Réponse

Récapitulatif très court des réponses :

Calculs de fractions :
a) 6⁄20 b) 41⁄14 c) 21⁄40 d) 1⁄10
e) –9⁄13 f) 6⁄35 g) –23⁄20 h) –4,5
Calcul mental :
a) 156 b) 160 c) 9 d) 7,205
e) 1,56 f) 0,00064 g) 225 h) 72050
Expression en une seule opération : 7⁶
Égalité : 81 = 3⁴
Aire d’un carré de côté 6,8 cm : 6,8 × 6,8
Côté d’un carré d’aire 49 m² : 7 m

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice avec une explication pas à pas.

1. Correction du travail de Sophie

a) \(\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}\)

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20}. \]
Sophie a obtenu \(\frac{6}{20}\). Même si l’on peut simplifier (car \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)), l’expression proposée est équivalente.
Réponse de Sophie : \(\checkmark\)

b) \(\displaystyle \frac{3}{7} + \frac{5}{2}\)

Pour additionner deux fractions, il faut un dénominateur commun. Le dénominateur commun de \(7\) et \(2\) est \(14\).
On transforme chaque fraction : \[ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14}, \qquad \frac{5}{2} = \frac{5 \times 7}{2 \times 7} = \frac{35}{14}. \]
Ensuite, on additionne : \[ \frac{6}{14} + \frac{35}{14} = \frac{6 + 35}{14} = \frac{41}{14}. \]
Sophie a indiqué \(\frac{8}{9}\), ce qui est incorrect.
Bonne réponse : \(\displaystyle \frac{41}{14}\)

c) \(\displaystyle \frac{5}{8} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}\)

D’abord, on effectue la multiplication : \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \times 2}{4 \times 5} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}. \]
Ensuite, on soustrait : \[ \frac{5}{8} - \frac{1}{10}. \]
Pour soustraire, on trouve un dénominateur commun. Le dénominateur commun de \(8\) et \(10\) est \(40\) : \[ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 5}{8 \times 5} = \frac{25}{40}, \qquad \frac{1}{10} = \frac{1 \times 4}{10 \times 4} = \frac{4}{40}. \]
Alors, \[ \frac{25}{40} - \frac{4}{40} = \frac{25-4}{40} = \frac{21}{40}. \]
Sophie a obtenu \(\frac{21}{80}\), ce qui est une erreur.
Bonne réponse : \(\displaystyle \frac{21}{40}\)

d) \(\displaystyle \frac{7}{10} - \frac{3}{5}\)

Pour soustraire, on s’assure d’avoir le même dénominateur. On note que : \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}. \]
Ainsi, \[ \frac{7}{10} - \frac{6}{10} = \frac{7-6}{10} = \frac{1}{10}. \]
Sophie a donné \(\frac{1}{10}\) qui est exact.
Réponse de Sophie : \(\checkmark\)

e) \(\displaystyle \left(-\frac{6}{13}\right) \cdot \frac{3}{2}\)

On multiplie numérateurs et dénominateurs : \[ \left(-\frac{6}{13}\right) \cdot \frac{3}{2} = \frac{-6 \times 3}{13 \times 2} = \frac{-18}{26}. \]
On peut simplifier en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : \[ \frac{-18}{26} = \frac{-9}{13}. \]
Sophie a donné \(-\frac{9}{13}\), donc c’est correct.
Réponse de Sophie : \(\checkmark\)

f) \(\displaystyle \left(-\frac{2}{7}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\)

Le produit de deux nombres négatifs est positif : \[ \left(-\frac{2}{7}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{2 \times 3}{7 \times 5} = \frac{6}{35}. \]
Sophie a obtenu \(\frac{6}{35}\), donc c’est correct.
Réponse de Sophie : \(\checkmark\)

g) \(\displaystyle -\frac{3}{4} - \frac{2}{5}\)

Pour effectuer la soustraction, on met les deux fractions sur un dénominateur commun. Le dénominateur commun de \(4\) et \(5\) est \(20\) : \[ -\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 5}{4 \times 5} = -\frac{15}{20}, \qquad \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}. \]
Ainsi, \[ -\frac{15}{20} - \frac{8}{20} = -\frac{15 + 8}{20} = -\frac{23}{20}. \]
Sophie a indiqué \(\frac{1}{20}\), ce qui est incorrect.
Bonne réponse : \(-\displaystyle \frac{23}{20}\)

h) \(\displaystyle 8 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{6}{8}\right)\)

On procède étape par étape :
1. \(8 \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \times 3}{4} = \frac{24}{4} = 6.\)
2. Ensuite, \(6 \cdot \left(-\frac{6}{8}\right) = -\frac{36}{8}.\)
On simplifie \(-\frac{36}{8}\) en divisant numérateur et dénominateur par 4 : \[ -\frac{36}{8} = -\frac{9}{2}. \]
La valeur de \(-\frac{9}{2}\) est égale à \(-4{,}5\).
Sophie a obtenu \(-4{,}5\), donc c’est exact.
Réponse de Sophie : \(\checkmark\)

2. Calcul mental

a) \(15{,}6 \cdot 10\)

Multiplier par 10 consiste à décaler la virgule d’un rang vers la droite : \[ 15{,}6 \cdot 10 = 156. \]

b) \(0{,}32 \cdot 500\)

On peut calculer : \[ 0{,}32 \cdot 500 = \frac{32}{100} \cdot 500 = \frac{32 \times 500}{100} = \frac{16000}{100} = 160. \]

c) \(45 \cdot 0{,}2\)

Calcul de \(45 \cdot 0{,}2\) : \[ 45 \cdot 0{,}2 = 9 \quad \text{(car } 45 \cdot 2 = 90 \text{ et } 90 \div 10 = 9\text{)}. \]

d) \(720{,}5 \cdot 0{,}01\)

Multiplier par \(0{,}01\) revient à décaler la virgule de deux rangs vers la gauche : \[ 720{,}5 \cdot 0{,}01 = 7{,}205. \]

e) \(15{,}6 \div 10\)

Diviser par 10 revient à décaler la virgule d’un rang vers la gauche : \[ 15{,}6 \div 10 = 1{,}56. \]

f) \(0{,}32 \div 500\)

Pour diviser \(0{,}32\) par 500, on peut écrire : \[ 0{,}32 \div 500 = \frac{0{,}32}{500} = \frac{32}{100} \div 500 = \frac{32}{100 \times 500} = \frac{32}{50000}. \]
En effectuant la division : \[ \frac{32}{50000} = 0{,}00064. \]

g) \(45 \div 0{,}2\)

Diviser par \(0{,}2\) équivaut à multiplier par \(5\) (puisque \(0{,}2 = \frac{1}{5}\)) : \[ 45 \div 0{,}2 = 45 \times 5 = 225. \]

h) \(720{,}5 \div 0{,}01\)

Diviser par \(0{,}01\) revient à multiplier par 100 (la virgule se décale de deux rangs vers la droite) : \[ 720{,}5 \div 0{,}01 = 720{,}5 \times 100 = 72050. \]

3. Écriture d’une expression sous forme d’une seule opération

L’expression donnée est : \[ 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7. \]

Au lieu de multiplier par 7 six fois, on peut utiliser une puissance : \[ 7^6. \]

4. Compléter l’égalité : \(\displaystyle 81 = 3^{\,\square}\)

On cherche l’exposant \(x\) tel que \(3^x = 81\).
En testant :
\(3^1 = 3\) ; \(3^2 = 9\) ; \(3^3 = 27\) ; \(3^4 = 81\).
Donc, \(81 = 3^4\).

5. Calcul de l’aire d’un carré

Un carré d’un côté de \(6{,}8\ \mathrm{cm}\) a pour aire : \[ \text{Aire} = \text{côté} \times \text{côté} = 6{,}8 \times 6{,}8 \quad \text{ou bien } 6{,}8^2. \]

6. Déterminer la mesure du côté d’un carré à partir de son aire

On sait que l’aire d’un carré est donnée par : \[ \text{Aire} = \text{côté}^2. \]
Si l’aire est \(49\ \mathrm{m}^2\), alors : \[ \text{côté}^2 = 49. \]
Pour trouver le côté, on calcule la racine carrée de 49 : \[ \text{côté} = \sqrt{49} = 7\ \mathrm{m}. \]

Récapitulatif des réponses

1. \(\displaystyle \frac{6}{20}\) \(\checkmark\)
  b) \(\displaystyle \frac{41}{14}\)
  c) \(\displaystyle \frac{21}{40}\)
  d) \(\displaystyle \frac{1}{10}\) \(\checkmark\)
  e) \(-\displaystyle \frac{9}{13}\) \(\checkmark\)
  f) \(\displaystyle \frac{6}{35}\) \(\checkmark\)
  g) \(-\displaystyle \frac{23}{20}\)
  h) \(-4{,}5\) \(\checkmark\)
1. \(156\)
  b) \(160\)
  c) \(9\)
  d) \(7{,}205\)
  e) \(1{,}56\)
  f) \(0{,}00064\)
  g) \(225\)
  h) \(72050\)
\(7^6\)
\(81 = 3^4\)
Aire du carré : \(6{,}8 \times 6{,}8\) ou \(6{,}8^2\)
Mesure du côté : \(7\ \mathrm{m}\)

Cette correction reprend chaque étape du calcul et explique les opérations nécessaires afin de rendre la démarche accessible.