Question : Calculez les expressions suivantes :
\(-\frac{3}{5} - \frac{4}{7}\)
\(\left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{4}{7}\right)\)
\(\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{7}}\)
\(\left(-\frac{3}{8}\right)^2\)
\(\frac{2}{5} - \left(\frac{1}{5} \div \frac{2}{3}\right)\)
\(\frac{3}{4} + \left(\frac{2}{7} \div \frac{4}{3}\right) - \frac{1}{2}\)
\(3,5 \times \left(-1,\overline{2}\right) \div 0,7\)
\(\frac{3}{5} \times \frac{10}{9} + \frac{2}{9}\)
Voici la réponse synthétique de l’exercice :
Voici la correction détaillée pour chacune des expressions :
Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 5 et 7. Leur plus petit commun multiple est \(35\).
Écrire chaque fraction sous le dénominateur 35
:
\[
-\frac{3}{5} = -\frac{3\times7}{5\times7} = -\frac{21}{35} \quad
\text{et} \quad \frac{4}{7} = \frac{4\times5}{7\times5} = \frac{20}{35}.
\]
Effectuer la soustraction :
\[
-\frac{21}{35} - \frac{20}{35} = -\frac{21 + 20}{35} = -\frac{41}{35}.
\]
Réponse a) : \(\boxed{-\frac{41}{35}}\)
Multiplier les numérateurs et les dénominateurs
:
\[
\left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{(-3)
\times (-4)}{5 \times 7} = \frac{12}{35}.
\]
Note sur le signe :
Le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif.
Réponse b) : \(\boxed{\frac{12}{35}}\)
Rappel de la division de fractions :
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : \[
\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{7}} = \left(-\frac{3}{5}\right) \div
\left(-\frac{4}{7}\right) = \left(-\frac{3}{5}\right) \times
\left(-\frac{7}{4}\right).
\]
Simplifier les signes :
Deux signes négatifs se simplifient pour donner un signe positif : \[
\left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{7}{4}\right) = \frac{3}{5}
\times \frac{7}{4}.
\]
Effectuer la multiplication :
\[
\frac{3 \times 7}{5 \times 4} = \frac{21}{20}.
\]
Réponse c) : \(\boxed{\frac{21}{20}}\)
Rappel de l’opération de mise au carré :
Mettre au carré une fraction consiste à mettre le numérateur et le
dénominateur au carré.
Calcul :
\[
\left(-\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{(-3)^2}{8^2} = \frac{9}{64}.
\]
Réponse d) : \(\boxed{\frac{9}{64}}\)
Diviser \(\frac{1}{5}\)
par \(\frac{2}{3}\) :
\[
\frac{1}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{5} \times \frac{3}{2} =
\frac{3}{10}.
\]
Effectuer la soustraction :
Pour soustraire, il faut un dénominateur commun.
\(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\). Ainsi :
\[
\frac{4}{10} - \frac{3}{10} = \frac{1}{10}.
\]
Réponse e) : \(\boxed{\frac{1}{10}}\)
Diviser \(\frac{2}{7}\)
par \(\frac{4}{3}\) :
\[
\frac{2}{7} \div \frac{4}{3} = \frac{2}{7} \times \frac{3}{4} =
\frac{6}{28} = \frac{3}{14}.
\]
Exprimer toutes les fractions avec un dénominateur commun
:
On choisit le dénominateur commun \(28\) : \[
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 7}{4 \times 7} = \frac{21}{28}, \quad
\frac{3}{14} = \frac{3 \times 2}{14 \times 2} = \frac{6}{28}, \quad
\frac{1}{2} = \frac{1 \times 14}{2 \times 14} = \frac{14}{28}.
\]
Réaliser l’opération :
\[
\frac{21}{28} + \frac{6}{28} - \frac{14}{28} = \frac{21+6-14}{28} =
\frac{13}{28}.
\]
Réponse f) : \(\boxed{\frac{13}{28}}\)
Transformation des nombres en fractions :
\(3,5\) s’écrit \(\frac{7}{2}\) (car \(3,5 = \frac{7}{2}\)).
Le nombre \(-1,\overline{2}\) est un nombre décimal répété. Pour trouver sa fraction, posons :
Soit \(x = 1,\overline{2}\).
Multiplions par 10 : \(10x =
12,\overline{2}\).
Soustrayons : \(10x - x = 12,\overline{2} -
1,\overline{2} = 11\), ce qui donne \(9x = 11\).
Donc \(x = \frac{11}{9}\).
Ainsi, \(-1,\overline{2} =
-\frac{11}{9}\).
\(0,7\) s’écrit \(\frac{7}{10}\).
Effectuer la multiplication :
\[
3,5 \times \left(-1,\overline{2}\right) = \frac{7}{2} \times
\left(-\frac{11}{9}\right) = -\frac{77}{18}.
\]
Effectuer la division :
Diviser par \(\frac{7}{10}\) revient à
multiplier par son inverse : \[
-\frac{77}{18} \div \frac{7}{10} = -\frac{77}{18} \times \frac{10}{7}.
\]
Simplifier le produit :
\[
-\frac{77}{18} \times \frac{10}{7} = -\frac{77 \times 10}{18 \times 7}.
\] On peut simplifier \(77\) et
\(7\) : \(77
\div 7 = 11\).
Il reste alors : \[
-\frac{11 \times 10}{18} = -\frac{110}{18}.
\] Simplifions en divisant le numérateur et le dénominateur par 2
: \[
-\frac{110 \div 2}{18 \div 2} = -\frac{55}{9}.
\]
Réponse g) : \(\boxed{-\frac{55}{9}}\)
Effectuer la multiplication :
\[
\frac{3}{5} \times \frac{10}{9} = \frac{3\times10}{5\times9} =
\frac{30}{45}.
\] On peut simplifier \(\frac{30}{45} =
\frac{2}{3}\).
Additionner la fraction obtenue avec \(\frac{2}{9}\) :
Pour additionner \(\frac{2}{3}\) et
\(\frac{2}{9}\), il faut un
dénominateur commun.
\(\frac{2}{3} = \frac{2\times3}{3\times3} =
\frac{6}{9}\).
Effectuer l’addition :
\[
\frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}.
\]
Réponse h) : \(\boxed{\frac{8}{9}}\)
Chaque étape a été détaillée pour bien comprendre les opérations effectuées. N’hésitez pas à revoir chaque étape pour vous assurer de la bonne compréhension de la méthode employée.