Question : Calculez les expressions suivantes :
\(\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{5}\)
\(\frac{4}{7} + \frac{3}{5}\)
\(\frac{2}{3} - \frac{1}{6}\)
\(\left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)\)
\(-\frac{5}{6} - \frac{4}{5}\)
\(\frac{7}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\)
\(\frac{-30}{19} \cdot \frac{-15}{-5}\)
\(6 \cdot \frac{7}{9} + 3\)
\(2 - \frac{7}{8} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)\)
\(\frac{7}{5} \cdot (-3) \cdot \left(-0,\overline{2}\right)\)
\(\left(\frac{2}{5} + \frac{3}{7}\right) \div \left(\frac{8}{3} - 3\right)\)
Réponses courtes :
a) 12/35
b) 41/35
c) 1/2
d) 2/3
e) -49/30
f) 9/4
g) -90/19
h) 23/3
i) 19/6
j) 14/15
k) -87/35
Voici la correction détaillée de l’exercice avec toutes les étapes :
Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
\[ \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \times 3}{7 \times 5} = \frac{12}{35} \]
Réponse a) : \(\displaystyle \frac{12}{35}\)
Trouver un dénominateur commun :
Le dénominateur commun de 7 et 5 est \(35\).
Transformer chaque fraction :
\[ \frac{4}{7} = \frac{4 \times 5}{7 \times 5} = \frac{20}{35} \quad \text{et} \quad \frac{3}{5} = \frac{3 \times 7}{5 \times 7} = \frac{21}{35} \]
Ajouter les deux fractions :
\[ \frac{20}{35} + \frac{21}{35} = \frac{20 + 21}{35} = \frac{41}{35} \]
Réponse b) : \(\displaystyle \frac{41}{35}\)
Trouver un dénominateur commun :
Le dénominateur commun de 3 et 6 est \(6\).
Transformer la fraction \(\frac{2}{3}\) :
\[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \]
Soustraire :
\[ \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4 - 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Réponse c) : \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
Multiplier les numérateurs et les dénominateurs en tenant
compte des signes :
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
\[ \left(-\frac{5}{6}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{(-5) \times (-4)}{6 \times 5} = \frac{20}{30} \]
Simplifier la fraction :
Diviser le numérateur et le dénominateur par 10 :
\[ \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \]
Réponse d) : \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
Trouver un dénominateur commun :
Le dénominateur commun de 6 et 5 est \(30\).
Transformer chaque fraction :
\[ -\frac{5}{6} = -\frac{5 \times 5}{6 \times 5} = -\frac{25}{30} \quad \text{et} \quad \frac{4}{5} = \frac{4 \times 6}{5 \times 6} = \frac{24}{30} \]
Effectuer la soustraction (en faisant attention aux signes) :
\[ -\frac{25}{30} - \frac{24}{30} = -\frac{25 + 24}{30} = -\frac{49}{30} \]
Réponse e) : \(\displaystyle -\frac{49}{30}\)
Calculer la multiplication avant l’addition :
\[ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
Additionner \(\frac{7}{4}\) et \(\frac{1}{2}\) :
Trouvons un dénominateur commun (ici 4) :
\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \]
Puis :
\[ \frac{7}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7+2}{4} = \frac{9}{4} \]
Réponse f) : \(\displaystyle \frac{9}{4}\)
Simplifier la deuxième fraction :
\[
\frac{-15}{-5} = \frac{15}{5} = 3
\]
Multiplier avec la première fraction :
\[ \frac{-30}{19} \cdot 3 = \frac{-30 \times 3}{19} = \frac{-90}{19} \]
Réponse g) : \(\displaystyle \frac{-90}{19}\)
Effectuer la multiplication :
\[ 6 \cdot \frac{7}{9} = \frac{6 \times 7}{9} = \frac{42}{9} \]
Simplifions en divisant par 3 :
\[ \frac{42}{9} = \frac{14}{3} \]
Additionner 3 sous forme de fraction avec dénominateur 3 :
\[ 3 = \frac{9}{3} \]
Ainsi :
\[ \frac{14}{3} + \frac{9}{3} = \frac{14+9}{3} = \frac{23}{3} \]
Réponse h) : \(\displaystyle \frac{23}{3}\)
Effectuer la multiplication :
\[ \frac{7}{8} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{7 \times 4}{8 \times 3} = -\frac{28}{24} \]
Simplifions la fraction en divisant par 4 :
\[ -\frac{28}{24} = -\frac{7}{6} \]
Remplacer dans l’expression :
Soustraire un nombre négatif équivaut à ajouter son opposé :
\[ 2 - \left(-\frac{7}{6}\right) = 2 + \frac{7}{6} \]
Mettre 2 sous forme de fraction :
\[ 2 = \frac{12}{6} \]
Donc :
\[ \frac{12}{6} + \frac{7}{6} = \frac{19}{6} \]
Réponse i) : \(\displaystyle \frac{19}{6}\)
Convertir la partie décimale en fraction :
Le nombre \(0,\overline{2}\) représente
un nombre dont le chiffre 2 se répète. On sait que :
\[ 0,\overline{2} = \frac{2}{9} \]
Comme il y a un signe négatif devant, on a :
\[ -0,\overline{2} = -\frac{2}{9} \]
Calculer le produit des deux nombres négatifs (-3 et \(-\frac{2}{9}\)) :
\[ (-3) \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
Multiplier par \(\frac{7}{5}\) :
\[ \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7 \times 2}{5 \times 3} = \frac{14}{15} \]
Réponse j) : \(\displaystyle \frac{14}{15}\)
Calcul du numérateur \(\frac{2}{5} + \frac{3}{7}\) :
Trouver le dénominateur commun de 5 et 7, qui est \(35\).
Transformer les fractions :
\[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35} \quad \text{et} \quad \frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35} \]
Additionner :
\[ \frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{29}{35} \]
Calcul du dénominateur \(\frac{8}{3} - 3\) :
Exprimer 3 avec le même dénominateur que \(\frac{8}{3}\) :
\[ 3 = \frac{9}{3} \]
Soustraire :
\[ \frac{8}{3} - \frac{9}{3} = \frac{8-9}{3} = \frac{-1}{3} \]
Effectuer la division de la fraction :
\[ \frac{29}{35} \div \frac{-1}{3} = \frac{29}{35} \cdot \frac{-3}{1} = -\frac{29 \times 3}{35} = -\frac{87}{35} \]
Réponse k) : \(\displaystyle -\frac{87}{35}\)
Chaque point a été traité étape par étape afin de faciliter la compréhension. Ces méthodes de calcul sont applicables à d’autres problèmes similaires.