Exercice 65

Exercice

Effectue les opérations suivantes. Donne tes réponses sous forme de fractions irréductibles.
1. \(\displaystyle \frac{5}{12} \div \frac{1}{3}\)
2. \(\displaystyle \frac{7}{9} \div \frac{3}{4}\)
3. \(\displaystyle -\frac{4}{7} \div \frac{2}{5}\)
4. \(\displaystyle \frac{5}{6} \div 3\)
5. \(\displaystyle -\frac{2}{5} \div \left(-\frac{3}{10}\right)\)
6. \(\displaystyle 3 \div \frac{3}{8}\)
7. \(\displaystyle 2,\overline{6} \div 0,5\)
8. \(\displaystyle \frac{5}{6} \div \frac{3}{10} \div \frac{1}{2}\)
9. \(\displaystyle \frac{5}{6} \div \left(\frac{3}{10} \div \frac{1}{2}\right)\)
10. \(\displaystyle -\frac{3}{8} \div \left(-\frac{1}{4}\right) \div (-0,25)\)
Réalise les calculs suivants :
1. \(\displaystyle \frac{8}{7} + \frac{7}{8}\)
2. \(\displaystyle \frac{15}{10} + \frac{5}{20}\)
3. \(\displaystyle \frac{4}{7} \div \frac{8}{21}\)
Entoure la ou les bonnes réponses :
1. \(\displaystyle \frac{8}{5} + \frac{4}{20}=\)
  - \(\displaystyle \frac{9}{5}\)
  - \(\displaystyle \frac{36}{20}\)
  - \(\displaystyle \frac{52}{20}\)
2. \(\displaystyle \frac{2}{5} \times \frac{5}{8}=\)
  - \(\displaystyle \frac{1}{4}\)
  - \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
  - \(0,5\)
3. \(\displaystyle \frac{9}{10} - \frac{2}{10} \times \frac{1}{3}=\)
  - \(\displaystyle \frac{5}{6}\)
  - \(\displaystyle \frac{23}{30}\)
  - \(\displaystyle \frac{7}{10}\)
4. \(\displaystyle \frac{4}{7} - 4=\)
  - \(\displaystyle \frac{4}{7}\)
  - \(\displaystyle -\frac{24}{7}\)
  - \(\displaystyle \frac{28}{7}\)
5. \(\displaystyle -0,\overline{4} \times \left(-\frac{2}{5}\right)=\)
  - \(\displaystyle \frac{8}{45}\)
  - \(0,17\)
  - \(-\frac{8}{45}\)
6. \(\displaystyle -\frac{2}{3} - \frac{5}{4}=\)
  - \(\displaystyle -\frac{22}{12}\)
  - \(\displaystyle \frac{22}{12}\)
  - \(\displaystyle -\frac{23}{12}\)
7. \(\displaystyle \frac{3}{8} \div \frac{6}{11} \times \frac{11}{3}=\)
  - \(\displaystyle \frac{1}{8}\)
  - \(\displaystyle \frac{11}{8}\)
  - \(\displaystyle \frac{121}{48}\)
Zacharie a utilisé les trois cinquièmes de son budget pour acheter des livres et un tiers du reste pour des jouets. Quelle fraction du budget est dépensée pour les jouets ?
Dans un zoo, \(\displaystyle \frac{3}{8}\) des enclos abritent des oiseaux et \(\displaystyle \frac{1}{4}\) des enclos accueillent des reptiles. Les autres enclos sont réservés aux mammifères. Quelle fraction des enclos est dédiée aux mammifères ?
Une barre de chocolat mesure 60 mm de long. À chaque bouchée, on en consomme \(\displaystyle \frac{3}{5}\) centimètre. Combien de bouchées faut-il pour finir la barre ?

Réponse

Voici le résumé des réponses finales en très court :

1. 5/4 b) 28/27 c) –10/7 d) 5/18 e) 4/3 f) 8 g) 16/3 h) 50/9 i) 25/18 j) –6
1. 113/56 b) 7/4 c) 3/2
1. 9/5 b) 1/4 c) 5/6 d) –24/7 e) 8/45 f) –23/12 g) 121/48
2/15
3/8
10 bouchées

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

1. Effectue les opérations suivantes. Donne tes réponses sous forme de fractions irréductibles.

a) \(\displaystyle \frac{5}{12} \div \frac{1}{3}\)

Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

\[ \frac{5}{12} \div \frac{1}{3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{1} = \frac{5 \times 3}{12 \times 1} = \frac{15}{12}. \]

Ensuite, on simplifie \(\frac{15}{12}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (ici 3) :

\[ \frac{15}{12} = \frac{15\div3}{12\div3} = \frac{5}{4}. \]

Réponse a) : \(\displaystyle \frac{5}{4}\).

b) \(\displaystyle \frac{7}{9} \div \frac{3}{4}\)

Multiplions par l’inverse de \(\frac{3}{4}\) :

\[ \frac{7}{9} \div \frac{3}{4} = \frac{7}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{7 \times 4}{9 \times 3} = \frac{28}{27}. \]

La fraction \(\frac{28}{27}\) est irréductible.

Réponse b) : \(\displaystyle \frac{28}{27}\).

c) \(\displaystyle -\frac{4}{7} \div \frac{2}{5}\)

On multiplie par l’inverse de \(\frac{2}{5}\) :

\[ -\frac{4}{7} \div \frac{2}{5} = -\frac{4}{7} \times \frac{5}{2} = -\frac{4 \times 5}{7 \times 2} = -\frac{20}{14}. \]

Simplifions en divisant par 2 :

\[ -\frac{20}{14} = -\frac{10}{7}. \]

Réponse c) : \(\displaystyle -\frac{10}{7}\).

d) \(\displaystyle \frac{5}{6} \div 3\)

On écrit 3 sous forme de fraction : \(3 = \frac{3}{1}\). Ainsi :

\[ \frac{5}{6} \div 3 = \frac{5}{6} \div \frac{3}{1} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{18}. \]

La fraction \(\frac{5}{18}\) est irréductible.

Réponse d) : \(\displaystyle \frac{5}{18}\).

e) \(\displaystyle -\frac{2}{5} \div \left(-\frac{3}{10}\right)\)

Note : le quotient de deux nombres négatifs est positif.

\[ -\frac{2}{5} \div \left(-\frac{3}{10}\right) = \frac{2}{5} \div \frac{3}{10} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{3} = \frac{2 \times 10}{5 \times 3} = \frac{20}{15}. \]

Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par 5 :

\[ \frac{20}{15} = \frac{4}{3}. \]

Réponse e) : \(\displaystyle \frac{4}{3}\).

f) \(\displaystyle 3 \div \frac{3}{8}\)

On écrit 3 sous forme de fraction : \(3 = \frac{3}{1}\). Alors :

\[ 3 \div \frac{3}{8} = \frac{3}{1} \times \frac{8}{3} = \frac{3 \times 8}{1 \times 3} = \frac{24}{3} = 8. \]

On peut aussi écrire le résultat sous forme fractionnaire \(8 = \frac{8}{1}\).

Réponse f) : \(\displaystyle 8\).

g) \(\displaystyle 2,\overline{6} \div 0,5\)

La notation \(2,\overline{6}\) représente le nombre \(2,6666\ldots\) qui est égal à \(\frac{8}{3}\) (car \(2,\overline{6} = 2 + 0,\overline{6}\) et \(0,\overline{6} = \frac{2}{3}\)). De plus, \(0,5 = \frac{1}{2}\).

Ainsi :

\[ \frac{8}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{8}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{16}{3}. \]

Réponse g) : \(\displaystyle \frac{16}{3}\).

h) \(\displaystyle \frac{5}{6} \div \frac{3}{10} \div \frac{1}{2}\)

Les divisions se réalisent de gauche à droite.

Calculons d’abord \(\displaystyle \frac{5}{6} \div \frac{3}{10}\) : \[ \frac{5}{6} \times \frac{10}{3} = \frac{5 \times 10}{6 \times 3} = \frac{50}{18}. \] Cette fraction se simplifie en divisant par 2 : \[ \frac{50}{18} = \frac{25}{9}. \]
Ensuite, on divise ce résultat par \(\displaystyle \frac{1}{2}\) : \[ \frac{25}{9} \div \frac{1}{2} = \frac{25}{9} \times \frac{2}{1} = \frac{50}{9}. \]

Réponse h) : \(\displaystyle \frac{50}{9}\).

i) \(\displaystyle \frac{5}{6} \div \left(\frac{3}{10} \div \frac{1}{2}\right)\)

Commencez par calculer l’expression entre parenthèses :

\[ \frac{3}{10} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. \]

Ensuite, divisez \(\frac{5}{6}\) par ce résultat :

\[ \frac{5}{6} \div \frac{3}{5} = \frac{5}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{25}{18}. \]

Réponse i) : \(\displaystyle \frac{25}{18}\).

j) \(\displaystyle -\frac{3}{8} \div \left(-\frac{1}{4}\right) \div (-0,25)\)

Tout d’abord, convertir \(-0,25\) en fraction :
\(0,25 = \frac{1}{4}\) donc \(-0,25 = -\frac{1}{4}\).
Calculez le premier quotient : \[ -\frac{3}{8} \div \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{8} \times \left(-\frac{4}{1}\right) = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \] (Le produit de deux nombres négatifs est positif.)
Divisez ensuite ce résultat par \(-\frac{1}{4}\) : \[ \frac{3}{2} \div \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{4}{1}\right) = -\frac{12}{2} = -6. \]

Réponse j) : \(-6\).

2. Réalise les calculs suivants :

a) \(\displaystyle \frac{8}{7} + \frac{7}{8}\)

Trouvons un dénominateur commun. Ici, le plus petit commun multiple de 7 et 8 est \(56\).

\[ \frac{8}{7} = \frac{8 \times 8}{7 \times 8} = \frac{64}{56} \quad \text{et} \quad \frac{7}{8} = \frac{7 \times 7}{8 \times 7} = \frac{49}{56}. \]

Ensuite, on additionne :

\[ \frac{64}{56} + \frac{49}{56} = \frac{64 + 49}{56} = \frac{113}{56}. \]

Réponse 2a) : \(\displaystyle \frac{113}{56}\).

b) \(\displaystyle \frac{15}{10} + \frac{5}{20}\)

Simplifions d’abord chaque fraction : - \(\frac{15}{10} = \frac{3}{2}\) (en divisant par 5). - \(\frac{5}{20} = \frac{1}{4}\) (en divisant par 5).

Trouvons un dénominateur commun pour \(\frac{3}{2}\) et \(\frac{1}{4}\). Le dénominateur commun est \(4\).

\[ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{6}{4}. \]

Puis :

\[ \frac{6}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6 + 1}{4} = \frac{7}{4}. \]

Réponse 2b) : \(\displaystyle \frac{7}{4}\).

c) \(\displaystyle \frac{4}{7} \div \frac{8}{21}\)

Divisons en multipliant par l’inverse de \(\frac{8}{21}\) :

\[ \frac{4}{7} \div \frac{8}{21} = \frac{4}{7} \times \frac{21}{8}. \]

Simplifions avant de multiplier. On remarque que \(21\) et \(7\) se simplifient : \[ \frac{21}{7} = 3. \]

Ainsi :

\[ \frac{4}{7} \times \frac{21}{8} = \frac{4 \times 3}{8} = \frac{12}{8}. \]

Simplifions \(\frac{12}{8}\) en divisant par 4 :

\[ \frac{12}{8} = \frac{3}{2}. \]

Réponse 2c) : \(\displaystyle \frac{3}{2}\).

3. Entoure la ou les bonnes réponses :

Pour chacun des calculs, vérifions le résultat.

a) \(\displaystyle \frac{8}{5} + \frac{4}{20}\)

On simplifie \(\frac{4}{20} = \frac{1}{5}\). Donc :

\[ \frac{8}{5} + \frac{1}{5} = \frac{9}{5}. \]

La bonne réponse est : \(\displaystyle \frac{9}{5}\).

b) \(\displaystyle \frac{2}{5} \times \frac{5}{8}\)

Multiplication :

\[ \frac{2}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{2 \times 5}{5 \times 8} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}. \]

La bonne réponse est : \(\displaystyle \frac{1}{4}\).

c) \(\displaystyle \frac{9}{10} - \frac{2}{10} \times \frac{1}{3}\)

Calculons d’abord le produit :

\[ \frac{2}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}. \]

Ensuite :

\[ \frac{9}{10} - \frac{1}{15}. \]

Pour soustraire, trouvons un dénominateur commun, ici \(30\) (car \(10 \times 3 = 30\) et \(15 \times 2 = 30\)) :

\[ \frac{9}{10} = \frac{9 \times 3}{10 \times 3} = \frac{27}{30}, \quad \frac{1}{15} = \frac{1 \times 2}{15 \times 2} = \frac{2}{30}. \]

Ainsi :

\[ \frac{27}{30} - \frac{2}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}. \]

La bonne réponse est : \(\displaystyle \frac{5}{6}\).

d) \(\displaystyle \frac{4}{7} - 4\)

On écrit 4 sous forme de fraction avec dénominateur 7 :

\[ 4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7}. \]

Donc :

\[ \frac{4}{7} - \frac{28}{7} = \frac{4 - 28}{7} = \frac{-24}{7}. \]

La bonne réponse est : \(\displaystyle -\frac{24}{7}\).

e) \(\displaystyle -0,\overline{4} \times \left(-\frac{2}{5}\right)\)

Commencez par convertir \(-0,\overline{4}\) en fraction.
Soit \(x = 0,\overline{4}\). Alors :

\[ 10x = 4,\overline{4} \quad \text{et} \quad 10x - x = 4,\overline{4} - 0,\overline{4} \Rightarrow 9x = 4, \] donc \(x = \frac{4}{9}\). Puisque le nombre est négatif :
\(-0,\overline{4} = -\frac{4}{9}\).

Alors :

\[ -\frac{4}{9} \times \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{45}. \]

La bonne réponse est : \(\displaystyle \frac{8}{45}\).

f) \(\displaystyle -\frac{2}{3} - \frac{5}{4}\)

Trouvons un dénominateur commun pour \(3\) et \(4\), qui est \(12\) :

\[ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \times 4}{3 \times 4} = -\frac{8}{12}, \quad -\frac{5}{4} = -\frac{5 \times 3}{4 \times 3} = -\frac{15}{12}. \]

Additionnons :

\[ -\frac{8}{12} - \frac{15}{12} = -\frac{8 + 15}{12} = -\frac{23}{12}. \]

La bonne réponse est : \(\displaystyle -\frac{23}{12}\).

g) \(\displaystyle \frac{3}{8} \div \frac{6}{11} \times \frac{11}{3}\)

Effectuons d’abord la division :

\[ \frac{3}{8} \div \frac{6}{11} = \frac{3}{8} \times \frac{11}{6} = \frac{3 \times 11}{8 \times 6} = \frac{33}{48} = \frac{11}{16} \quad (\text{après simplification}). \]

Puis, multiplions par \(\frac{11}{3}\) :

\[ \frac{11}{16} \times \frac{11}{3} = \frac{11 \times 11}{16 \times 3} = \frac{121}{48}. \]

La bonne réponse est : \(\displaystyle \frac{121}{48}\).

4. Zacharie a utilisé les trois cinquièmes de son budget pour acheter des livres et un tiers du reste pour des jouets. Quelle fraction du budget est dépensée pour les jouets ?

La fraction utilisée pour les livres est \(\frac{3}{5}\).
Le reste du budget est : \[ 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}. \]
Un tiers de ce reste est dépensé pour des jouets : \[ \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}. \]

Réponse 4 : \(\displaystyle \frac{2}{15}\).

5. Dans un zoo, \(\displaystyle \frac{3}{8}\) des enclos abritent des oiseaux et \(\displaystyle \frac{1}{4}\) des enclos accueillent des reptiles. Les autres enclos sont réservés aux mammifères. Quelle fraction des enclos est dédiée aux mammifères ?

Additionnons d’abord les enclos occupés par oiseaux et reptiles.
Remarquons que \(\frac{1}{4}\) peut s’écrire avec le dénominateur 8 :

\[ \frac{1}{4} = \frac{2}{8}. \]

Ainsi, la somme est :

\[ \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}. \]

Les enclos restants sont :

\[ 1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}. \]

Réponse 5 : \(\displaystyle \frac{3}{8}\).

6. Une barre de chocolat mesure 60 mm de long. À chaque bouchée, on en consomme \(\displaystyle \frac{3}{5}\) centimètre. Combien de bouchées faut-il pour finir la barre ?

D’abord, convertissons \(\frac{3}{5}\) centimètre en millimètres sachant que \(1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}\) : \[ \frac{3}{5} \text{ cm} = \frac{3}{5} \times 10 \text{ mm} = \frac{30}{5} \text{ mm} = 6 \text{ mm}. \]
Le nombre de bouchées est donné par la longueur totale divisée par la longueur consommée par bouchée :

\[ \text{Nombre de bouchées} = \frac{60 \text{ mm}}{6 \text{ mm}} = 10. \]

Réponse 6 : 10 bouchées.

Chaque étape a été expliquée minutieusement pour faciliter la compréhension. Bonne continuation dans vos révisions !