Exercice 64

Question : Simplifier et effectuer les calculs suivants :

1. \(\frac{8}{15} \div \frac{4}{25} =\)

2. \(\frac{16}{9} \div \frac{8}{27} =\)

3. \(\frac{7}{19} \div 7 =\)

4. \(36 \div \frac{9}{4} =\)

Réponse

Réponses : a) 10/3
b) 6
c) 1/19
d) 16

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque opération :

---

a) Calcul de \(\frac{8}{15} \div \frac{4}{25}\)

1. Division par une fraction
   Rappel : diviser par une fraction équivaut à multiplier par son inverse.
   \[ \frac{8}{15} \div \frac{4}{25} = \frac{8}{15} \times \frac{25}{4} \]

2. Multiplication des fractions
   Multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : \[ \frac{8 \times 25}{15 \times 4} = \frac{200}{60} \]

3. Simplification de la fraction
   Pour simplifier, on cherche un diviseur commun aux deux nombres.
   Divisons le numérateur et le dénominateur par 20 : \[ \frac{200\div20}{60\div20} = \frac{10}{3} \]

Réponse a) \(\displaystyle \frac{10}{3}\)

---

b) Calcul de \(\frac{16}{9} \div \frac{8}{27}\)

1. Transformation en multiplication
   \[ \frac{16}{9} \div \frac{8}{27} = \frac{16}{9} \times \frac{27}{8} \]

2. Multiplication des fractions
   \[ \frac{16 \times 27}{9 \times 8} = \frac{432}{72} \]

3. Simplification
   En divisant le numérateur et le dénominateur par 72 : \[ \frac{432\div72}{72\div72} = \frac{6}{1} = 6 \]

Réponse b) \(6\)

---

c) Calcul de \(\frac{7}{19} \div 7\)

1. Conversion de la division en multiplication
   On écrit 7 sous forme fractionnaire : \(7 = \frac{7}{1}\).
   Alors : \[ \frac{7}{19} \div 7 = \frac{7}{19} \div \frac{7}{1} = \frac{7}{19} \times \frac{1}{7} \]

2. Multiplication et simplification
   Multiplions et simplifions par le facteur commun 7 : \[ \frac{7 \times 1}{19 \times 7} = \frac{7}{133} = \frac{1}{19} \] Puisque \(7\) se simplifie dans le numérateur et le dénominateur.

Réponse c) \(\displaystyle \frac{1}{19}\)

---

d) Calcul de \(36 \div \frac{9}{4}\)

1. Transformation en multiplication
   \[ 36 \div \frac{9}{4} = 36 \times \frac{4}{9} \]

2. Multiplication et simplification
   Multiplions : \[ 36 \times \frac{4}{9} = \frac{36 \times 4}{9} = \frac{144}{9} \] Ensuite, divisons \(144\) par \(9\) : \[ \frac{144}{9} = 16 \]

Réponse d) \(16\)

---

Bilan des réponses :

• 1. \(\displaystyle \frac{10}{3}\)
• 2. \(6\)
• 3. \(\displaystyle \frac{1}{19}\)
• 4. \(16\)

Cette méthode pas à pas montre comment appliquer la multiplication par l’inverse pour transformer une division en multiplication, puis simplifier les fractions obtenues.