Exercice 63

Exercice

Pour atteindre la sortie, effectuez la multiplication indiquée sur la case où vous vous trouvez, puis identifiez le résultat dans l’une des cases adjacentes.

Entrée
\(\frac{7}{3}\) \(\frac{18}{25}\) 2 \(\frac{4}{1}\) 8 \(\frac{2}{9}\) \(\frac{5}{5}\) \(\begin{gathered} \downarrow \\ 2^{5}\cdot3 \end{gathered}\) \(\frac{5}{10}\)
\(\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}\) \(\frac{6}{7}\cdot\frac{7}{10}\) \(\frac{5}{5}\cdot\frac{2}{3}\) \(\frac{8}{2}\cdot 1\) \(\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8}\) \(\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{7}\) \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}\) \(3\cdot 1\) \(\frac{5}{1}\cdot\frac{1}{5}\)
\(\frac{4}{7}\) \(\frac{5}{8}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{6}{7}\) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{8}{15}\) \(\frac{4}{9}\) \(\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{1}\) \(4\cdot\frac{2}{3}\) \(\frac{9}{8}\cdot\frac{8}{9}\) \(\frac{7}{4}\cdot\frac{4}{7}\) \(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{6}\) \(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\) \(\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{10}\) \(\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}\) \(\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}\)
\(\frac{7}{3}\) \(\frac{11}{14}\) \(\frac{3}{10}\) \(\frac{8}{5}\) \(\frac{5}{6}\) \(\frac{7}{9}\) \(\frac{16}{21}\) \(\frac{9}{8}\) \(\frac{3}{4}\)
\(\frac{6}{6}\cdot\frac{3}{3}\) \(\frac{7}{7}\cdot2\) \(\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{5}\) \(\frac{9}{7}\cdot\frac{7}{9}\) \(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{8}\) \(\frac{8}{10}\cdot\frac{5}{4}\) \(3\cdot\frac{2}{3}\) \(\frac{0}{5}\cdot\frac{4}{8}\) \(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\)
\(\frac{12}{35}\) \(\frac{5}{21}\) \(\frac{15}{42}\) \(\frac{2}{7}\) \(\frac{7}{4}\) \(\frac{3}{8}\)
\(\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}\) \(\frac{7}{6}\cdot\frac{3}{7}\) \(\frac{4}{8}\cdot\frac{8}{4}\) \(\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\) \(\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{4}\) \(\frac{8}{11}\cdot\frac{3}{8}\) \(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\) \(\frac{6}{7}\cdot\frac{6}{7}\) \(\frac{5}{2}\cdot\frac{2}{5}\)
\(\frac{2}{5}\) \(\frac{6}{7}\) \(\frac{9}{10}\) \(\frac{5}{4}\) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{2}{7}\) \(\frac{8}{11}\) \(\frac{7}{5}\) \(\frac{9}{4}\)
\(\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\) \(\frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}\) \(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{8}\) \(\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{3}\) \(\frac{9}{14}\cdot\frac{2}{3}\) \(\frac{6}{10}\cdot2\) \(\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}\) \(\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{7}\) \(\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{2}\)
\(\frac{5}{9}\) \(\frac{4}{11}\) \(\frac{10}{7}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{6}{5}\) \(\frac{7}{8}\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{8}{3}\)
\(2\cdot\frac{2}{5}\) \(\frac{8}{5}\cdot\frac{5}{6}\) \(7\cdot\frac{3}{7}\) \(\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{8}\) \(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\) \(\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{5}\) \(\frac{2}{9}\cdot\frac{9}{2}\) \(\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{3}\) \(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}\)
\(\frac{14}{9}\) \(\frac{5}{2}\) \(\frac{3}{8}\) \(\frac{7}{5}\) \(\frac{4}{7}\) \(\frac{8}{3}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{9}{11}\) \(\frac{11}{6}\)
\(\frac{6}{3}\cdot\frac{6}{3}\) \(\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}\) \(\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}\) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\) \(\frac{5}{6}\cdot\frac{6}{5}\) \(\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\) \(\frac{8}{9}\cdot\frac{9}{8}\) \(\frac{3}{10}\cdot\frac{10}{3}\) \(\frac{7}{4}\cdot\frac{4}{7}\)
\(\frac{9}{5}\) \(\frac{7}{3}\) \(\frac{4}{13}\) \(\frac{5}{8}\) \(\frac{8}{7}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{7}{20}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{11}{9}\)
\(\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{9}\) \(\frac{8}{5}\cdot\frac{5}{2}\) \(\frac{6}{11}\cdot\frac{11}{6}\) \(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}\) \(\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{5}\) \(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}\) \(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1}\) \(\frac{6}{7}\cdot\frac{7}{6}\) \(\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}\)
\(\begin{gathered} 3 \\ \frac{4}{9}\,\, ;\,\, \frac{2}{7}\cdot\frac{3}{2} \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{28}{14} \\ \frac{9}{15}\cdot\frac{5}{3} \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{10}{7} \\ \frac{4}{5}\cdot\frac{5}{8} \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{3}{4} \\ 2\cdot\frac{3}{2} \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{7}{3} \\ \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7} \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{5}{14} \\ \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{9}{10} \\ \frac{7}{5}\cdot\frac{7}{5} \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{3}{11} \\ \left(\frac{4}{7}\right)^2 \end{gathered}\) \(\begin{gathered} \frac{11}{8} \\ 2\cdot\frac{5}{4} \end{gathered}\)

Réponse

Pour chaque case, multipliez numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur, simplifiez le résultat, puis avancez vers la case affichant ce nombre.

Corrigé détaillé

Voici ci-dessous une correction complète qui détaille, étape par étape, comment effectuer les multiplications présentes dans cet exercice. L’idée générale est la suivante : lorsqu’on se trouve sur une case, il faut effectuer le calcul indiqué (souvent un produit de fractions ou de nombres entiers) en multipliant numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur, puis simplifier le résultat si possible. Ensuite, on doit reconnaître ce résultat dans l’une des cases adjacentes. Nous allons parcourir chaque ligne de multiplications en donnant un exemple de calcul.

Lignes 1 et 2 : Repérer les opérations

La première ligne – La rangée d’entrée

Les cases de la première rangée contiennent des nombres (ex. \(\frac{7}{3}\), \(\frac{18}{25}\), \(2\), etc.) qui servent à situer le départ. La case centrale intéressante contient : \[ 2^{5} \cdot 3. \] Si on voulait l’évaluer, on aurait : \[ 2^{5} = 32 \quad\text{et}\quad 32 \cdot 3 = 96. \] Mais pour notre problème, nous n’avons pas besoin d’effectuer ce calcul en particulier puisque la mécanique consiste à faire le calcul indiqué sur la case où l’on se trouve dans le labyrinthe.

La deuxième ligne – Multiplications à effectuer

Chaque case de la deuxième ligne présente une multiplication sous forme de produit de deux fractions ou d’un entier multiplié par une fraction. Nous allons détailler chacune :

  1. Calcul de \(\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3}\)
    • Multiplier les numérateurs : \(3 \times 8 = 24\).
    • Multiplier les dénominateurs : \(4 \times 3 = 12\).
    • On obtient : \[ \frac{24}{12} = 2. \]
  2. Calcul de \(\displaystyle \frac{6}{7}\cdot\frac{7}{10}\)
    • Numérateur : \(6 \times 7 = 42\).
    • Dénominateur : \(7 \times 10 = 70\).
    • Simplifions : \[ \frac{42}{70} = \frac{42\div14}{70\div14} = \frac{3}{5}. \]
  3. Calcul de \(\displaystyle \frac{5}{5}\cdot\frac{2}{3}\)
    • Ici on remarque que \(\frac{5}{5} = 1\).
    • Donc : \[ 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}. \]
  4. Calcul de \(\displaystyle \frac{8}{2}\cdot 1\)
    • D’abord, \(\frac{8}{2} = 4\).
    • Ensuite, \(4 \cdot 1 = 4\).
  5. Calcul de \(\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8}\)
    • Numérateur : \(3 \times 9 = 27\).
    • Dénominateur : \(4 \times 8 = 32\).
    • Le résultat est : \[ \frac{27}{32}\quad (\text{non simplifiable}). \]
  6. Calcul de \(\displaystyle \frac{7}{10}\cdot\frac{5}{7}\)
    • Numérateur : \(7 \times 5 = 35\).
    • Dénominateur : \(10 \times 7 = 70\).
    • Ainsi : \[ \frac{35}{70} = \frac{1}{2}. \]
  7. Calcul de \(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}\)
    • Numérateur : \(2 \times 3 = 6\).
    • Dénominateur : \(3 \times 2 = 6\).
    • Donc : \[ \frac{6}{6} = 1. \]
  8. Calcul de \(3\cdot 1\)
    • Simplement : \[ 3 \cdot 1 = 3. \]
  9. Calcul de \(\displaystyle \frac{5}{1}\cdot\frac{1}{5}\)
    • Numérateur : \(5 \times 1 = 5\).
    • Dénominateur : \(1 \times 5 = 5\).
    • Ainsi : \[ \frac{5}{5} = 1. \]

Lignes suivantes : Application de la méthode

Pour les autres lignes, la méthode reste la même. Nous détaillons quelques exemples supplémentaires pour bien comprendre la procédure.

Exemple de la quatrième ligne

Les cases de la quatrième ligne sont toutes des multiplications de deux nombres :

  1. Calcul de \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{1}\)
    • Numérateur : \(1 \times 4 = 4\).
    • Dénominateur : \(2 \times 1 = 2\).
    • Résultat : \[ \frac{4}{2} = 2. \]
  2. Calcul de \(4\cdot\frac{2}{3}\)
    • On écrit \(4 = \frac{4}{1}\) et on multiplie : \[ \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}. \]
  3. Calcul de \(\displaystyle \frac{9}{8}\cdot\frac{8}{9}\)
    • Ici, le produit est : \[ \frac{9 \times 8}{8 \times 9} = \frac{72}{72} = 1. \]
  4. Calcul de \(\displaystyle \frac{7}{4}\cdot\frac{4}{7}\)
    • De même : \[ \frac{7 \times 4}{4 \times 7} = 1. \]

Les autres cases de cette ligne, telles que \(\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{6}\), \(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\), etc., se simplifient de la même façon pour donner le résultat 1.

Exemple de la sixième ligne

Cette ligne présente également des multiplications. Prenons quelques cas :

  1. Calcul de \(\displaystyle \frac{6}{6}\cdot\frac{3}{3}\)
    • Sachant que \(\frac{6}{6} = 1\) et \(\frac{3}{3} = 1\), le produit est : \[ 1 \cdot 1 = 1. \]
  2. Calcul de \(\displaystyle \frac{7}{7}\cdot 2\)
    • Ici, \(\frac{7}{7} = 1\) donc : \[ 1 \cdot 2 = 2. \]
  3. Calcul de \(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{8}\)
    • On multiplie : \[ \frac{2 \times 3}{3 \times 8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}. \]
  4. Calcul de \(3\cdot\frac{2}{3}\)
    • Ce produit donne : \[ \frac{3 \times 2}{3} = 2. \]
  5. Calcul de \(\displaystyle \frac{0}{5}\cdot\frac{4}{8}\)
    • Le numérateur est \(0 \times 4 = 0\), donc le produit est : \[ 0. \]
  6. Calcul de \(\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\)
    • Ici : \[ \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \]
Exemple de la huitième ligne

Prenons quelques multiplications issues de la huitième ligne :

  1. Calcul de \(\displaystyle \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}\)
    • Le produit est : \[ \frac{2\cdot5}{5\cdot2} = \frac{10}{10} = 1. \]
  2. Calcul de \(\displaystyle \frac{7}{6}\cdot\frac{3}{7}\)
    • On obtient : \[ \frac{7\cdot3}{6\cdot7} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}. \]
  3. Calcul de \(\displaystyle \left(\frac{3}{5}\right)^2\)
    • Il faut multiplier \(\frac{3}{5}\) par lui-même : \[ \frac{3}{5}\times\frac{3}{5} = \frac{9}{25}. \]
  4. Calcul de \(\displaystyle \frac{8}{11}\cdot\frac{3}{8}\)
    • Ainsi : \[ \frac{8 \times 3}{11 \times 8} = \frac{24}{88} = \frac{3}{11}. \]

Les autres produits de cette ligne se simplifient de la même manière.

Exemple de la dixième ligne

Voici quelques multiplications de la dixième ligne :

  1. Calcul de \(\displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^3\)
    • Cela signifie multiplier \(\frac{3}{4}\) par lui-même trois fois : \[ \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3 \times 3 \times 3}{4 \times 4 \times 4} = \frac{27}{64}. \]
  2. Calcul de \(\displaystyle \frac{2}{7}\cdot\frac{7}{3}\)
    • On obtient : \[ \frac{2\cdot7}{7\cdot3} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}. \]
  3. Calcul de \(\displaystyle \frac{6}{10}\cdot2\)
    • On peut écrire \(2 = \frac{2}{1}\) et multiplier : \[ \frac{6 \times 2}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}. \]
  4. Calcul de \(\displaystyle \frac{7}{8}\cdot\frac{8}{7}\)
    • Le produit est clairement : \[ 1. \]
Exemple de la douzième ligne

Quelques multiplications supplémentaires :

  1. Calcul de \(2\cdot\frac{2}{5}\)
    • Écrire \(2 = \frac{2}{1}\) donne : \[ \frac{2 \times 2}{1 \times 5} = \frac{4}{5}. \]
  2. Calcul de \(7\cdot\frac{3}{7}\)
    • Ici, \(7\cdot\frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3.\)
  3. Calcul de \(\displaystyle \frac{4}{5}\cdot\frac{5}{8}\)
    • Le produit est : \[ \frac{4\cdot5}{5\cdot8} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}. \]
  4. Calcul de \(\displaystyle \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\)
    • Ce produit donne : \[ 1. \]

Les autres cases se calculent de manière analogue pour donner des résultats simples comme \(1\) ou \(\frac{2}{3}\).

Exemple de la seizième ligne

Quelques exemples issus de la seizième ligne :

  1. Calcul de \(\displaystyle \frac{3}{7}\cdot\frac{4}{9}\)
    • Numérateur : \(3 \times 4 = 12\).
    • Dénominateur : \(7 \times 9 = 63\).
    • Après simplification (diviser par 3) : \[ \frac{12}{63} = \frac{4}{21}. \]
  2. Calcul de \(\displaystyle \frac{8}{5}\cdot\frac{5}{2}\)
    • On a : \[ \frac{8\times5}{5\times2} = \frac{40}{10} = 4. \]
  3. Calcul de \(\displaystyle \frac{7}{8}\cdot\frac{8}{5}\)
    • On obtient : \[ \frac{7\times8}{8\times5} = \frac{56}{40} = \frac{7}{5}. \]
  4. Les autres multiplications de cette ligne donnent, après simplification, des résultats comme \(1\) ou \(\frac{10}{21}\).
Ligne avec cases à double affichage

La dernière rangée affiche dans chaque case deux éléments (parfois un nombre en haut, une multiplication ou une expression en bas). Par exemple :

Chaque case de cette rangée affiche de telles indications pour aider à choisir la prochaine case.

Conclusion

Pour résoudre cet exercice dans le contexte du labyrinthe, voici la démarche à suivre :

  1. Sur la case où vous vous trouvez, lisez soigneusement l’opération (souvent un produit de fractions ou de nombres).
  2. Effectuez le calcul en multipliant numérateurs et dénominateurs puis simplifiez le résultat.
  3. Comparez le résultat obtenu avec les valeurs indiquées dans les cases adjacentes.
  4. Avancez vers la case qui affiche le résultat de votre multiplication.

Cette méthode s’applique pour chacune des cases présentant une opération. En suivant ces étapes de manière rigoureuse, vous pourrez progresser dans le labyrinthe jusqu’à atteindre la sortie.

J’espère que cette correction détaillée vous aide à comprendre la démarche et les calculs impliqués dans cet exercice.

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